В ромбе \(ABCD\) известно, что \(AB = 3\), \(AC = 3\sqrt{3}\). Найдите синус угла \(BAC\).

Для решения этой задачи нам потребуется знание свойств ромба и тригонометрических функций. 1. **Свойства ромба:** - Все стороны ромба равны. Таким образом, \(AB = BC = CD = DA = 3\). - Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам. 2. **Рассмотрим треугольник \(ABC\):** - Из условия задачи известны длины сторон \(AB = 3\) и \(AC = 3\sqrt{3}\). - Так как диагональ \(AC\) делит угол \(BAD\) пополам, то угол \(BAC\) – это половина угла \(BAD\). - Пусть \(O\) – точка пересечения диагоналей ромба. Тогда \(AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\). 3. **Применим теорему косинусов к треугольнику \(ABC\):** - \(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)\) - \(3^2 = 3^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \cos(\angle BAC)\) - \(9 = 9 + 27 - 18\sqrt{3} \cdot \cos(\angle BAC)\) - \(18\sqrt{3} \cdot \cos(\angle BAC) = 27\) - \(\cos(\angle BAC) = \frac{27}{18\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) 4. **Найдем угол \(BAC\):** - Так как \(\cos(\angle BAC) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), то \(\angle BAC = 30^\circ\) или \(\frac{\pi}{6}\) радиан. 5. **Найдем синус угла \(BAC\):** - \(\sin(\angle BAC) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\) **Ответ:** Синус угла \(BAC\) равен **\(\frac{1}{2}\)**. **Развернутый ответ для школьника:** Мы решали задачу, в которой нужно было найти синус угла \(BAC\) в ромбе \(ABCD\). Нам было известно, что сторона \(AB\) ромба равна 3, а диагональ \(AC\) равна \(3\sqrt{3}\). Сначала мы вспомнили свойства ромба: все стороны равны, а диагонали перпендикулярны и делят углы пополам. Затем мы применили теорему косинусов к треугольнику \(ABC\) и нашли косинус угла \(BAC\). После этого мы определили сам угол \(BAC\), который оказался равен 30 градусам. В конце мы нашли синус этого угла, который равен \(\frac{1}{2}\).