В равностороннем треугольнике проведена медиана \(AM = 21\) см. Рассчитай расстояние от точки \(M\) до стороны \(AC\). 1. Угол \(MAC = \) ? ° 2. Расстояние от точки \(M\) до стороны \(AC\) равно ? см.

Давай решим эту задачу по геометрии шаг за шагом. 1. Угол \(MAC\) В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам. Угол \(MAC\) является углом равностороннего треугольника \(ABC\). \(\angle MAC = 60^\circ\) 2. Расстояние от точки \(M\) до стороны \(AC\) Поскольку \(ABC\) – равносторонний треугольник, то \(BM\) является не только медианой, но и высотой. Следовательно, \(BM\) перпендикулярна \(AC\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(AMB\). В нём \(AM\) – гипотенуза, а расстояние от точки \(M\) до \(AC\) – это катет, который можно найти, зная, что \(BM\) является высотой и медианой. Опустим перпендикуляр из точки \(M\) на сторону \(AC\), назовём точку пересечения \(H\). Тогда \(MH\) – искомое расстояние. Так как \(M\) – середина \(BC\), то \(MH\) является средней линией треугольника \(ABC\), и она равна половине высоты \(AB\). Чтобы найти высоту \(BM\), можно воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника \(AMB\): \(AB^2 = AM^2 + BM^2\) Но нам нужно найти \(MH\). Так как \(MH\) – средняя линия треугольника \(BCH\), то \(MH = \frac{1}{2}BH\). Найдём высоту \(BH\) равностороннего треугольника. Пусть сторона треугольника равна \(a\). \(AM = 21\) (дано) Так как \(AM\) – медиана, то \(MC = \frac{a}{2}\). Применим теорему косинусов для треугольника \(AMC\): \(AM^2 = AC^2 + MC^2 - 2 \cdot AC \cdot MC \cdot \cos(60^\circ)\) \(21^2 = a^2 + (\frac{a}{2})^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{2}\) \(441 = a^2 + \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2}\) \(441 = \frac{4a^2 + a^2 - 2a^2}{4}\) \(441 = \frac{3a^2}{4}\) \(a^2 = \frac{441 \cdot 4}{3}\) \(a^2 = 147 \cdot 4\) \(a = \sqrt{147 \cdot 4} = 2 \sqrt{147} = 2 \sqrt{49 \cdot 3} = 2 \cdot 7 \sqrt{3} = 14 \sqrt{3}\) Теперь найдём высоту \(BH\) (она же \(BM\)): \(BH = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{14 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{14 \cdot 3}{2} = 7 \cdot 3 = 21\) Теперь найдём \(MH\): \(MH = \frac{1}{2}BH = \frac{21}{2} = 10.5\) Итак, расстояние от точки \(M\) до стороны \(AC\) равно 10.5 см. Ответ: 1. \(\angle MAC = 60^\circ\) 2. Расстояние от точки \(M\) до стороны \(AC\) равно 10.5 см.