В равностороннем треугольнике проведена медиана \(AM = 17\) см. Рассчитай расстояние от точки \(M\) до стороны \(AC\). 1. Угол \(MAC =\) ? °. 2. Расстояние от точки \(M\) до стороны \(AC\) равно ? см.

Давай решим эту задачу вместе! 1. Определение угла \(MAC\) В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам. Поскольку треугольник \(ABC\) равносторонний, угол \(BAC\) равен 60 градусам. Угол \(MAC\) – это угол \(BAC\), который равен 60 градусам. Таким образом, угол \(MAC = 60\)°. 2. Расстояние от точки \(M\) до стороны \(AC\) Так как \(AM\) - медиана, она делит сторону \(BC\) пополам. Обозначим сторону равностороннего треугольника как \(a\). Значит, \(MC = \frac{a}{2}\). Рассмотрим треугольник \(AMC\). В этом треугольнике известна сторона \(AM = 17\) см, угол \(MAC = 60\)°, и сторона \(MC = \frac{a}{2}\). Однако, нам нужно найти расстояние от точки \(M\) до стороны \(AC\), то есть высоту треугольника \(AMC\), опущенную из точки \(M\) на сторону \(AC\). Обозначим эту высоту как \(h\). Для начала определим длину стороны равностороннего треугольника \(a\). В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому \(AB = BC = AC = a\). Используем теорему косинусов для треугольника \(AMC\): \[AM^2 = AC^2 + MC^2 - 2 cdot AC cdot MC cdot \cos(C)\] Так как угол \(C = 60\)°, а \(AC = a\) и \(MC = \frac{a}{2}\), подставим значения: \[17^2 = a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 - 2 cdot a cdot \frac{a}{2} cdot \cos(60°)\] \[289 = a^2 + \frac{a^2}{4} - a^2 cdot \frac{1}{2}\] \[289 = a^2 + \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2}\] \[289 = \frac{4a^2 + a^2 - 2a^2}{4}\] \[289 = \frac{3a^2}{4}\] \[a^2 = \frac{4 cdot 289}{3}\] \[a = \sqrt{\frac{1156}{3}} = \frac{34}{\sqrt{3}} = \frac{34\sqrt{3}}{3}\] Теперь найдем высоту \(h\) от точки \(M\) к стороне \(AC\). Площадь треугольника \(AMC\) можно выразить двумя способами: \[S = \frac{1}{2} cdot AC cdot h = \frac{1}{2} cdot a cdot h\] Также площадь треугольника \(AMC\) можно найти по формуле Герона. Сначала найдем полупериметр \(p\): \[p = \frac{AM + AC + MC}{2} = \frac{17 + a + \frac{a}{2}}{2} = \frac{17 + \frac{3a}{2}}{2}\] Подставим значение \(a = \frac{34\sqrt{3}}{3}\): \[p = \frac{17 + \frac{3 \cdot \frac{34\sqrt{3}}{3}}{2}}{2} = \frac{17 + 17\sqrt{3}}{2} = \frac{17(1 + \sqrt{3})}{2}\] Теперь найдем площадь по формуле Герона: \[S = \sqrt{p(p - AM)(p - AC)(p - MC)}\] \[S = \sqrt{\frac{17(1 + \sqrt{3})}{2} \left(\frac{17(1 + \sqrt{3})}{2} - 17\right) \left(\frac{17(1 + \sqrt{3})}{2} - \frac{34\sqrt{3}}{3}\right) \left(\frac{17(1 + \sqrt{3})}{2} - \frac{17\sqrt{3}}{3}\right)}\] Это сложное выражение, но мы можем упростить задачу, заметив, что высота \(h\) также является частью прямоугольного треугольника, образованного высотой, отрезком на стороне \(AC\) и стороной \(AM\). Обозначим этот отрезок на стороне \(AC\) как \(x\). Тогда: \[h = AM cdot \sin(MAC) = 17 cdot \sin(60°) = 17 cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{17\sqrt{3}}{2}\] Теперь найдем приближенное значение \(h\): \[h = \frac{17 cdot 1.732}{2} \approx \frac{29.444}{2} \approx 14.722\] Округлим до целого числа: \(h \approx 15\) см. Ответы: 1. Угол \(MAC = 60\)° 2. Расстояние от точки \(M\) до стороны \(AC\) равно 15 см.