В равнобедренном треугольнике к боковой стороне проведена высота и биссектриса угла, прилежащего к основанию. Определи угол между высотой и биссектрисой, если угол вершины \(\angle B = 48^\circ\).

Решение: 1. Рассмотрим равнобедренный треугольник \(\triangle ABC\), где \(AB = BC\) и \(\angle B = 48^\circ\). 2. Поскольку треугольник равнобедренный, углы при основании равны. Найдем \(\angle A\) и \(\angle C\): \(\angle A = \angle C = \frac{180^\circ - \angle B}{2} = \frac{180^\circ - 48^\circ}{2} = \frac{132^\circ}{2} = 66^\circ\). 3. \(AM\) - высота, проведенная из вершины \(A\) к стороне \(BC\). Значит, \(\angle AMC = 90^\circ\). 4. Рассмотрим \(\triangle AMC\). Найдем \(\angle MAC\): \(\angle MAC = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - 66^\circ = 24^\circ\). 5. \(AN\) - биссектриса угла \(\angle A\). Значит, \(\angle NAC = \frac{\angle A}{2} = \frac{66^\circ}{2} = 33^\circ\). 6. Теперь найдем угол между высотой и биссектрисой, то есть \(\angle MAN\): \(\angle MAN = \angle NAC - \angle MAC = 33^\circ - 24^\circ = 9^\circ\). Ответ: \(\angle MAN = 9^\circ\). **Ответ:** 9 **Объяснение для школьника:** Представь себе равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны одинаковые. Угол при вершине (в нашем случае угол B) равен 48 градусам. Чтобы найти углы при основании (углы A и C), нужно из 180 градусов вычесть угол при вершине и разделить результат на 2. Получается, каждый из этих углов равен 66 градусам. Теперь представим, что из угла A провели высоту к стороне BC. Получился прямоугольный треугольник AMC, где угол AMC прямой (90 градусов). Мы можем найти угол MAC, вычтя угол C (66 градусов) из 90 градусов. Получается 24 градуса. Также провели биссектрису из угла A. Биссектриса делит угол пополам, поэтому угол NAC равен половине угла A, то есть 33 градуса. Чтобы найти угол между высотой и биссектрисой (угол MAN), нужно из угла NAC (33 градуса) вычесть угол MAC (24 градуса). Получается 9 градусов. Вот и ответ!