В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна 1 см, а один из катетов треугольника равен 2 см. Тогда меньший угол прямоугольного треугольника равен чему?

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C - прямой. Пусть высота, проведенная из вершины C к гипотенузе AB, равна CH = 1 см. Пусть катет AC = 2 см. Нужно найти меньший угол этого треугольника. Обозначим угол ABC как \(\beta\). Тогда угол BAC равен \(90^\circ - \beta\). Меньший угол будет напротив меньшей стороны. Предположим, что \(AC > BC\), тогда \(\beta < 90^\circ - \beta\), и, следовательно, \(\beta < 45^\circ\). Площадь треугольника ABC можно выразить двумя способами: 1. \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot BC = BC\) 2. \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot 1 = \frac{1}{2} AB\) Тогда \(BC = \frac{1}{2} AB\). То есть, катет BC равен половине гипотенузы AB. Это означает, что угол BAC (напротив катета BC) равен 30 градусам, а угол ABC равен 60 градусам. Но нужно проверить, что катет AC действительно больше катета BC. Если угол BAC равен 30 градусам, то \(\sin(30^\circ) = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}\) и \(\cos(30^\circ) = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Тогда \(BC = \frac{1}{2} AB\) и \(AC = \frac{\sqrt{3}}{2} AB\). Так как AC = 2 см, то \(AB = \frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\). Тогда \(BC = \frac{1}{2} AB = \frac{2\sqrt{3}}{3}\). Сравним AC и BC: \(2 > \frac{2\sqrt{3}}{3}\) эквивалентно \(1 > \frac{\sqrt{3}}{3}\), что эквивалентно \(3 > \sqrt{3}\), что верно. Значит, меньший угол - это угол \(\beta\) напротив меньшей стороны BC, и он равен 30 градусам. **Ответ:** 30°