18. В прямоугольнике $ABCD$ точки $E$ и $F$ отмечены на стороне $DC$, так что $\angle EBA = \angle DFA = 45^\circ$ и $AB + EF = 20$ см. Какова длина $BC$?

Решение: 1. **Анализ условия:** * Имеем прямоугольник $ABCD$. * Точки $E$ и $F$ лежат на стороне $DC$. * $\angle EBA = \angle DFA = 45^\circ$. * $AB + EF = 20$ см. * Найти длину $BC$. 2. **Построение:** Представим прямоугольник $ABCD$. Отметим точки $E$ и $F$ на стороне $DC$. Так как $\angle EBA = 45^\circ$, в треугольнике $ABE$ угол $\angle BAE = 90^\circ$, значит, $\angle AEB = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, треугольник $ABE$ равнобедренный с $AE = AB$. Аналогично, треугольник $ADF$ равнобедренный с $DF = AD = BC$. 3. **Вывод соотношений:** * Так как $ABCD$ прямоугольник, $AB = CD$ и $AD = BC$. * Из $\angle EBA = 45^\circ$, следует, что $AB = AE$. * Из $\angle DFA = 45^\circ$, следует, что $AD = DF$, и $AD = BC$ (противоположные стороны прямоугольника равны). 4. **Выражение для $CD$:** $CD = DE + EF + FC$. Так как $AB = CD$, то $AB = DE + EF + FC$. 5. **Использование условия $AB + EF = 20$ см:** Из условия известно, что $AB + EF = 20$ см. Заменим $AB$ на $CD = DE + EF + FC$, тогда $DE + EF + FC + EF = 20$ см. 6. **Упрощение выражения:** $DE + 2EF + FC = 20$ см. Ранее мы установили, что $AB=AE$ и $DF=AD=BC$. Тогда, поскольку $AE=DE$ и $CF=DF$ (в силу равнобедренных прямоугольных треугольников $ABE$ и $ADF$), получим $AE + EF = AB$. А также $AE = AB$, то из $DE + EF + FC = AB$, следует $AB = AE + EF + FC = AE + EF + DF$, отсюда $EF = CF$. 7. **Использование равенств $AB = AE$ и $BC = DF$:** Заметим, что $AE=AB$ и $DF=BC$, а $CD=DE+EF+FC$, где $DE=AE$ и $CF=DF$, а также $CD = AB$. Тогда $AB = AE + EF + FC$. Так как $AE=AB$, то $CD=AB=AE+EF+FC = AB + EF + FC$, и $AB + EF = 20$ см. Из прямоугольного треугольника $ADF$, $AD=DF$ и тогда $BC=DF$. Заметим, что $DC = DE + EF + FC$, где $AB = DC$. Также $DE = AB$ и $CF = BC$. Таким образом, $AB = DE + EF + CF = AB + EF + BC$. В итоге $AB=BC$ 8. **Выражение для $BC$:** В прямоугольнике $ABCD$ точки $E$ и $F$ отмечены на стороне $DC$, так что $\angle EBA = \angle DFA = 45^\circ$ и $AB + EF = 20$ см. $AB + EF = 20 см$ $AB = AE$ и $DF = AD$, тогда $AB=BC$ и $BC = AB$, тогда $BC = DF$. Пусть $BC = x$, значит $AB = x$. $AE=x$ и $AD=x$ . $AB + EF = 20$ см. $BC = AD$. Так как $AB=AD$, то $AB=EF=10 см$, то $AB=EF=10 см$ $EF = x$, тогда $x+x=20$, значит $x=10$ см 9. **Нахождение значения $BC$:** По условию $AB + EF = 20$, а поскольку $AB=AE$, то $AB=DF=AD=BC$, то $EF = 0$. Значит $AB=20$ см Тогда $x + EF = 20$, а $x = 10$ см, тогда $BC=10$ см. **Ответ:** (Г) 10 см.