8. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 10 см, а сторона основания 12 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Для решения этой задачи, нам необходимо найти площадь основания и площадь боковой поверхности пирамиды. Поскольку пирамида правильная треугольная, то в основании лежит равносторонний треугольник. 1. Площадь основания (равностороннего треугольника): Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: \[ S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] где ( a ) - сторона основания. В нашем случае ( a = 12 ) см. Подставляем значение в формулу: \[ S_{осн} = \frac{12^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{144 \sqrt{3}}{4} = 36 \sqrt{3} \approx 62.35 \text{ см}^2 \] 2. Площадь боковой поверхности: Боковая поверхность состоит из трех одинаковых равнобедренных треугольников. Чтобы найти площадь одного такого треугольника, нужно знать его основание и высоту (апофему). Основание каждого треугольника - сторона основания пирамиды, т.е. ( a = 12 ) см. Найдем апофему (высоту боковой грани). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой боковой грани, половиной стороны основания и боковым ребром пирамиды. Пусть ( h ) - апофема. По теореме Пифагора: \[ h^2 + (\frac{a}{2})^2 = l^2 \] где ( l ) - боковое ребро (10 см). Тогда: \[ h^2 + (\frac{12}{2})^2 = 10^2 \] \[ h^2 + 6^2 = 100 \] \[ h^2 + 36 = 100 \] \[ h^2 = 64 \] \[ h = 8 \text{ см} \] Площадь одного бокового треугольника: \[ S_{бок.тр.} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48 \text{ см}^2 \] Площадь всей боковой поверхности: \[ S_{бок} = 3 \cdot S_{бок.тр.} = 3 \cdot 48 = 144 \text{ см}^2 \] 3. Площадь полной поверхности: Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: \[ S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 36\sqrt{3} + 144 \approx 62.35 + 144 = 206.35 \text{ см}^2 \] Ответ: Площадь полной поверхности пирамиды равна ( 144 + 36\sqrt{3} ) см(^2) или ( \approx 206.35) см(^2).