В правильной треугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60°, а радиус окружности, описанной около основания, равен $2\sqrt{3}$ см. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение: 1. Найдем сторону основания пирамиды (правильный треугольник). Радиус описанной окружности вокруг правильного треугольника связан со стороной формулой: $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$, где $R$ - радиус описанной окружности, $a$ - сторона треугольника. Подставляем известное значение радиуса $R = 2\sqrt{3}$: $2\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ $a = \frac{2\sqrt{3} \cdot 3}{\sqrt{3}} = 6$ см. Итак, сторона основания $a = 6$ см. 2. Найдем высоту основания (правильного треугольника): $h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см. 3. Найдем расстояние от вершины основания до центра основания (проекция вершины пирамиды): Это и есть радиус описанной окружности $R = 2\sqrt{3}$ см. 4. Определим высоту пирамиды $H$. Т.к. боковое ребро образует угол 60° с плоскостью основания, то мы можем использовать тангенс этого угла: $\tan(60^\circ) = \frac{H}{R}$ $H = R \cdot \tan(60^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6$ см. 5. Найдем апофему (высоту боковой грани). Обозначим ее за $l$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой $l$ и радиусом вписанной окружности в основание $r$. Радиус вписанной окружности в правильный треугольник равен половине радиуса описанной окружности. Т.е. $r = \frac{R}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см. Тогда по теореме Пифагора: $l = \sqrt{H^2 + r^2} = \sqrt{6^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 3} = \sqrt{39}$ см. 6. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$. Она равна сумме площадей трех боковых граней. Площадь каждой боковой грани равна: $S_{грани} = \frac{1}{2} a l = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{39} = 3\sqrt{39}$ см$^2$. Тогда площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 3 S_{грани} = 3 \cdot 3\sqrt{39} = 9\sqrt{39}$ см$^2$. Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды равна $9\sqrt{39}$ см$^2$.