В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 4 головки сыра, причем все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 9, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в два раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе? Запишите решение и ответ.

Решение: 1. Пусть x - количество мышек, пришедших в первую ночь. 2. Каждая мышка съела $\frac{4}{x}$ головки сыра. 3. Во вторую ночь пришло 9 мышек, и каждая съела в два раза меньше, то есть $\frac{4}{2x} = \frac{2}{x}$ головки сыра. 4. Предположим, что всего в погребе было y головок сыра. Тогда, после первой ночи осталось y - 4 головки. 5. Эти y - 4 головки были съедены 9 мышками, и каждая съела $\frac{2}{x}$ головки. Следовательно, $9 \cdot \frac{2}{x} = y - 4$. 6. Таким образом, получаем уравнение: $\frac{18}{x} = y - 4$. 7. Поскольку x и y - целые числа (количество мышек и головок сыра), $\frac{18}{x}$ должно быть целым числом. Значит, x является делителем числа 18. Возможные значения x: 1, 2, 3, 6, 9, 18. 8. Также известно, что y - 4 > 0, то есть y > 4. 9. Проверим возможные значения x: * Если x = 1, то $\frac{18}{1} = y - 4$, значит y = 22. * Если x = 2, то $\frac{18}{2} = y - 4$, значит y = 9 + 4 = 13. * Если x = 3, то $\frac{18}{3} = y - 4$, значит y = 6 + 4 = 10. * Если x = 6, то $\frac{18}{6} = y - 4$, значит y = 3 + 4 = 7. * Если x = 9, то $\frac{18}{9} = y - 4$, значит y = 2 + 4 = 6. * Если x = 18, то $\frac{18}{18} = y - 4$, значит y = 1 + 4 = 5. 10. Так как в первую ночь мышки съели только 4 головки, то общее количество головок сыра должно быть больше 4. Все варианты для y, полученные выше, удовлетворяют этому условию. 11. Проверим, что каждая мышка съела меньше одной головки сыра в первую ночь, тогда $\frac{4}{x} < 4$, значит $x > 1$. 12. Проверим варианты. Если x=2, то $y=13$. Получается, что первая мышь съела 2 сыра, а 9 мышей съели по 1 сыру. 13. Если $x=3$, то $y=10$. Первая мышь съела $\frac{4}{3}$, а 9 мышей съели по $\frac{2}{3}$ сыра. $\frac{4}{3} * 3 + \frac{2}{3} * 9 = 4 + 6 = 10$. 14. Если $x=6$, то $y=7$. Первая мышь съела $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$, а 9 мышей съели по $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ сыра. $\frac{2}{3} * 6 + \frac{1}{3} * 9 = 4 + 3 = 7$. 15. Если $x=9$, то $y=6$. Первая мышь съела $\frac{4}{9}$, а 9 мышей съели по $\frac{2}{9}$ сыра. $\frac{4}{9} * 9 + \frac{2}{9} * 9 = 4 + 2 = 6$. 16. Если $x=18$, то $y=5$. Первая мышь съела $\frac{4}{18} = \frac{2}{9}$, а 9 мышей съели по $\frac{2}{18} = \frac{1}{9}$ сыра. $\frac{2}{9} * 18 + \frac{1}{9} * 9 = 4 + 1 = 5$. Все полученные результаты верны. Ответ: Задача имеет несколько решений. В погребе могло храниться 5, 6, 7, 10, 13 или 22 головки сыра. Ответ: 5, 6, 7, 10, 13 или 22 головки сыра