В параллелограмме PQRS биссектрисы углов P и S пересекаются в точке M, которая находится на стороне QR. Известно, что сторона PQ = 11. Требуется определить периметр параллелограмма PQRS.

Давай решим эту задачу вместе! 1. Понимание условия: - У нас есть параллелограмм PQRS. - Биссектрисы углов P и S пересекаются в точке M, лежащей на стороне QR. - Сторона PQ равна 11. 2. Свойства параллелограмма и биссектрис: - В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть PQ = SR и PS = QR. - Биссектриса делит угол пополам. - Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180 градусам. 3. Решение: - Так как PM - биссектриса угла P, то \(\angle QPM = \angle MPS\). - Так как PQRS - параллелограмм, то PQ || SR, и \(\angle QPM = \angle PMS\) (как накрест лежащие углы). - Следовательно, \(\angle MPS = \angle PMS\), а значит, треугольник PMS - равнобедренный, и PS = MS. - Аналогично, SM - биссектриса угла S, следовательно, \(\angle RSM = \angle MSQ\). - Так как PS || QR, то \(\angle MSQ = \angle RSM\) (как накрест лежащие углы). - Следовательно, \(\angle RSM = \angle MSQ\), а значит, треугольник MSQ - равнобедренный, и MS = MQ. - Из этого следует, что PS = MS = MQ. - Поскольку точка M лежит на стороне QR, то QR = QM + MR. - Так как PS = QR и PS = MQ, то QR = 2 * PQ. - PS = QR = 2 * PQ = 2 * 11 = 22 4. Вычисление периметра: - Периметр параллелограмма PQRS равен P = 2 * (PQ + PS). - P = 2 * (11 + 22) = 2 * 33 = 66. Ответ: 66