В окружность вписан равнобедренный треугольник, который содержит центр окружности. Найдите угол при основании треугольника, если оно равно радиусу окружности.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, вписанный в окружность с центром O. Из условия задачи известно, что основание AC равно радиусу окружности R. Центр окружности лежит внутри треугольника. Необходимо найти угол при основании, то есть угол BAC или угол BCA. 1. Построение и анализ: Соединим центр O с вершинами A и C. Получим треугольник AOC. Так как OA и OC – радиусы окружности, то OA = OC = R. Кроме того, по условию AC = R. Значит, треугольник AOC равносторонний. 2. Нахождение угла AOC: В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам. Следовательно, угол AOC = 60°. 3. Нахождение угла ABC: Угол ABC – вписанный угол, опирающийся на дугу AC. Угол AOC – центральный угол, опирающийся на ту же дугу AC. По теореме о вписанном и центральном углах, вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Значит, угол ABC = 1/2 * угол AOC = 1/2 * 60° = 30°. 4. Свойства равнобедренного треугольника: Треугольник ABC – равнобедренный, следовательно, углы при основании AC равны. То есть, угол BAC = углу BCA. 5. Нахождение углов при основании: Сумма углов треугольника равна 180°. Значит, угол BAC + угол BCA + угол ABC = 180°. Так как угол BAC = углу BCA, обозначим их как x. Тогда: x + x + 30° = 180° 2x = 180° - 30° 2x = 150° x = 75° Следовательно, угол BAC = углу BCA = 75°. Ответ: Угол при основании треугольника равен 75°. Развернутый ответ для школьника: Представь, что у тебя есть круглая тарелка и ты рисуешь внутри неё треугольник так, чтобы все три уголка треугольника касались края тарелки (окружности). Этот треугольник называется вписанным в окружность. В нашей задаче треугольник особенный – он равнобедренный, то есть две его стороны одинаковые. Кроме того, центр тарелки (центр окружности) находится внутри этого треугольника, и основание треугольника (третья сторона) имеет длину, равную радиусу тарелки (расстоянию от центра до края). Теперь, чтобы найти угол при основании этого треугольника, нужно понять, как связаны углы внутри треугольника и центр тарелки. Если соединить центр тарелки с двумя нижними углами треугольника, получится маленький равносторонний треугольник посередине (все стороны одинаковые). Углы в равностороннем треугольнике всегда равны 60 градусам. Центральный угол (60 градусов) как бы «смотрит» на основание нашего большого треугольника. Вписанный угол, который тоже «смотрит» на это же основание, равен половине центрального, то есть 30 градусам. Этот угол находится наверху треугольника. Теперь мы знаем, что верхний угол треугольника равен 30 градусам. Так как треугольник равнобедренный, два нижних угла одинаковые. Чтобы найти эти углы, нужно из 180 градусов (суммы всех углов в треугольнике) вычесть 30 градусов и разделить результат на 2. Получается (180 - 30) / 2 = 150 / 2 = 75 градусов. Значит, каждый из углов при основании треугольника равен 75 градусам.