Правильный ответ: (НЕ)СМОТРЯ НА погоду, мы отправились в поход.
Объяснение:
В русском языке, частица "НЕ" с деепричастиями (форма глагола, обозначающая добавочное действие) пишется раздельно, если деепричастие употребляется с предлогом. В данном случае, "не смотря" является деепричастием, употребленным с предлогом "на", поэтому пишется раздельно.
Остальные варианты:
* (В)ПЕРЕДИ - наречие, пишется слитно.
* (В)ВИДЕ - существительное с предлогом, в данном контексте пишется слитно.
* (НА)СЧЁТ - предлог, пишется слитно.