В геометрической прогрессии {a_n} с положительными членами a_3=5; a_5=45. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии.

\[a_{3} = 5 \Longrightarrow a_{3} = b_{1}q^{2}\]

\[a_{5} = 45 \Longrightarrow a_{5} = b_{1}q^{4}\]

\[\frac{b_{1}q^{4}}{b_{1}q^{2}} = \frac{45}{5} = 9 \Longrightarrow q^{2} = 9 \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow q = 3;\ \ так\ как\ \left\{ a_{n} \right\} > 0.\]

\[5 = b_{1} \cdot 3^{2}\]

\[5 = b_{1} \cdot 9\]

\[b_{1} = \frac{5}{9}\]

\[S_{5} = \frac{b_{1} \cdot \left( 1 - q^{5} \right)}{1 - q} =\]

\[= \frac{\frac{5}{9} \cdot \left( 1 - 3^{5} \right)}{1 - 3} = \frac{\frac{5}{9} \cdot \left( 1 - 3^{5} \right)}{1 - 3} =\]

\[= \frac{\frac{5}{9} \cdot (1 - 243)}{- 2} =\]

\[= \frac{605}{9} = 67\frac{2}{9}\]

\[Ответ:\ \ 67\frac{2}{9}.\]