Упростите выражение, используя свойства корней.

Нам нужно упростить выражение: \[sqrt[4]{\frac{256x^4y^8}{r^{16}}}\] Учитывая, что ( x ge 0 ), ( y ge 0 ) и ( r > 0 ), мы можем применить свойства корней. Шаг 1: Применим свойство корня к дроби: корень из дроби равен дроби из корней числителя и знаменателя. \[sqrt[4]{\frac{256x^4y^8}{r^{16}}} = \frac{\sqrt[4]{256x^4y^8}}{\sqrt[4]{r^{16}}}\] Шаг 2: Вычислим корень четвертой степени из числителя и знаменателя. Разложим число 256 на множители: ( 256 = 2^8 = 4^4 ). \[\sqrt[4]{256} = \sqrt[4]{4^4} = 4\] Для переменных применяем свойство: ( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} ). \[\sqrt[4]{x^4} = x^{\frac{4}{4}} = x\] \[\sqrt[4]{y^8} = y^{\frac{8}{4}} = y^2\] \[\sqrt[4]{r^{16}} = r^{\frac{16}{4}} = r^4\] Шаг 3: Подставим вычисленные значения в дробь. \[\frac{\sqrt[4]{256x^4y^8}}{\sqrt[4]{r^{16}}} = \frac{4xy^2}{r^4}\] Таким образом, упрощенное выражение равно: Ответ: $\frac{4xy^2}{r^4}$