Упростите выражение \(\frac{a^{-11} \cdot a^{12}}{a^3}\) и найдите его значение при \(a = 5\).

Для начала упростим выражение, используя свойства степеней. 1. **Умножение степеней с одинаковым основанием:** \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) Применяем это свойство к числителю: \(a^{-11} \cdot a^{12} = a^{-11 + 12} = a^1 = a\). 2. **Деление степеней с одинаковым основанием:** \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) Теперь наше выражение выглядит как \(\frac{a}{a^3}\). Применяем свойство деления: \(\frac{a}{a^3} = a^{1-3} = a^{-2}\). 3. **Отрицательная степень:** \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) Преобразуем \(a^{-2}\): \(a^{-2} = \frac{1}{a^2}\). Теперь подставим \(a = 5\) в упрощенное выражение \(\frac{1}{a^2}\): \(\frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}\). Итак, значение выражения равно \(\frac{1}{25}\) или 0.04. **Ответ:** 0.04