Укажите соответствие между условиями задачи Коши и частными решениями:

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту задачу вместе. Нам нужно сопоставить задачи Коши с их решениями. **1. y'' - 2y' + y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0** Общий вид уравнения: $y'' - 2y' + y = 0$. Характеристическое уравнение имеет вид: $k^2 - 2k + 1 = 0$ $(k - 1)^2 = 0$ $k_1 = k_2 = 1$ Так как корни характеристического уравнения совпадают, общее решение имеет вид: $y(x) = C_1e^x + C_2xe^x$ Теперь используем начальные условия: $y(0) = 1$ => $C_1e^0 + C_2*0*e^0 = 1$ => $C_1 = 1$ $y'(x) = C_1e^x + C_2e^x + C_2xe^x$ $y'(0) = 0$ => $C_1e^0 + C_2e^0 + C_2*0*e^0 = 0$ => $C_1 + C_2 = 0$ => $1 + C_2 = 0$ => $C_2 = -1$ Итак, частное решение: $y(x) = e^x - xe^x = (1 - x)e^x$. Но это не соответствует указанным вариантам ответа. Проверим еще раз условия. Если y(0) = 1, y'(0) = 0, то y(x) = $e^x-xe^x = (1-x)e^x$ Возможно, в предложенных вариантах ответа ошибка. Но близким ответом будет $xe^x$, если бы было y(0)=0 и y'(0) = 1. **2. y'' - 2y' + y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 2** Общее решение такое же: $y(x) = C_1e^x + C_2xe^x$ Теперь используем начальные условия: $y(0) = 0$ => $C_1e^0 + C_2*0*e^0 = 0$ => $C_1 = 0$ $y'(x) = C_1e^x + C_2e^x + C_2xe^x$ $y'(0) = 2$ => $C_1e^0 + C_2e^0 + C_2*0*e^0 = 2$ => $C_1 + C_2 = 2$ => $0 + C_2 = 2$ => $C_2 = 2$ Итак, частное решение: $y(x) = 2xe^x$ **3. y'' - 2y' + y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1** Общее решение такое же: $y(x) = C_1e^x + C_2xe^x$ Теперь используем начальные условия: $y(0) = 0$ => $C_1e^0 + C_2*0*e^0 = 0$ => $C_1 = 0$ $y'(x) = C_1e^x + C_2e^x + C_2xe^x$ $y'(0) = 1$ => $C_1e^0 + C_2e^0 + C_2*0*e^0 = 1$ => $C_1 + C_2 = 1$ => $0 + C_2 = 1$ => $C_2 = 1$ Итак, частное решение: $y(x) = xe^x$ **Соответствия:** * y'' - 2y' + y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0 -> $(1-x)e^x$ * y'' - 2y' + y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 2 -> $2xe^x$ * y'' - 2y' + y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1 -> $xe^x$ **Развёрнутый ответ для школьника:** Мы решали задачу, в которой нужно было найти соответствие между дифференциальными уравнениями и их решениями. Сначала мы нашли общее решение для всех уравнений, а затем использовали начальные условия (значения y(0) и y'(0)), чтобы найти конкретные решения. Важно внимательно проверять каждое действие и начальные условия, чтобы не допустить ошибок. Обратите внимание, что первый вариант имеет небольшое несоответствие. Однако, основываясь на предоставленных вариантах ответов, мы смогли подобрать наиболее подходящие решения. В будущем, будьте внимательны при переписывании условий задачи!