У Вали есть конфеты: 6 апельсиновых, 7 клубничных, 6 лимонных и 5 вишнёвых. Валя хочет разложить все конфеты в несколько пакетиков так, чтобы ни в одном пакетике не было двух одинаковых конфет и чтобы во всех пакетиках конфет было одинаковое количество. 1) Какое самое маленькое количество пакетиков сможет собрать Валя? 2) Валя разложила все конфеты в восемь пакетиков, причем конфет во всех пакетиках одинаковое количество и ни в одном пакетике нет двух одинаковых конфет. Сколько у неё получилось пакетиков, в которых есть и апельсиновая, и клубничная, и лимонная конфеты?

Решение: 1) Чтобы найти наименьшее количество пакетиков, нужно чтобы в каждом пакетике было наибольшее возможное количество конфет. Всего у Вали: $6 + 7 + 6 + 5 = 24$ конфеты. Наибольшее число, на которое 24 делится без остатка, и которое меньше 24, это 12, но в одном пакетике не может быть 12 конфет, потому что конфет 4 вида, то есть максимум 4 конфеты в одном пакетике. Рассмотрим другие делители числа 24: 8, 6, 4, 3, 2, 1. - Если в пакетике 8 конфет, то нужно 3 пакетика. Это возможно, так как $8 > 4$. - Если в пакетике 6 конфет, то нужно 4 пакетика. Это возможно, так как $6 > 4$. - Если в пакетике 4 конфеты, то нужно 6 пакетиков. Это возможно, так как $4 = 4$. - Если в пакетике 3 конфеты, то нужно 8 пакетиков. Это возможно, так как $3 < 4$. - Если в пакетике 2 конфеты, то нужно 12 пакетиков. Это возможно, так как $2 < 4$. - Если в пакетике 1 конфета, то нужно 24 пакетика. Это возможно, так как $1 < 4$. Так как нам нужно минимальное число пакетиков, то рассматриваем вариант, когда в пакетике 4 конфеты, и таких пакетиков 6. В каждый пакетик положим по одной конфете каждого вида. Так как у нас 6 апельсиновых, 7 клубничных, 6 лимонных и 5 вишневых, то у нас получится 5 полных пакетиков (1 апельсиновая + 1 клубничная + 1 лимонная + 1 вишнёвая), а в шестой пакетик пойдет 1 апельсиновая, 1 клубничная и 1 лимонная конфеты. Ответ: 6 пакетиков. 2) Валя разложила все конфеты в 8 пакетиков, причем конфет во всех пакетиках одинаковое количество и ни в одном пакетике нет двух одинаковых конфет. Всего 24 конфеты, значит, в каждом пакетике $24 / 8 = 3$ конфеты. Нужно найти количество пакетиков, в которых есть и апельсиновая, и клубничная, и лимонная конфеты. Поскольку в каждом пакетике только 3 конфеты, то вишнёвой конфеты в таком пакетике быть не может. То есть, нужно чтобы был пакетик вида: апельсиновая + клубничная + лимонная. Всего апельсиновых 6, клубничных 7, лимонных 6. Значит таких пакетиков может быть максимум 6, так как апельсиновых и лимонных конфет всего 6. Если мы сделаем 6 пакетиков с тремя конфетами (апельсиновая + клубничная + лимонная), то потратим 6 апельсиновых, 6 клубничных и 6 лимонных конфет. У нас останется: - 0 апельсиновых конфет; - 1 клубничная конфета; - 0 лимонных конфет; - 5 вишнёвых конфет. То есть, в оставшихся 2 пакетиках у нас будет 1 клубничная и 2 вишневые конфеты (этого не может быть, так как в каждом пакетике должно быть 3 конфеты), или 2 клубничные и 1 вишневая (этого не может быть, так как клубничная всего 1). Значит, пакетиков с тремя конфетами будет не 6, а меньше. Предположим, что у нас 5 пакетиков с тремя конфетами (апельсиновая + клубничная + лимонная), тогда мы потратим 5 апельсиновых, 5 клубничных и 5 лимонных конфет. У нас останется: - 1 апельсиновая конфета; - 2 клубничные конфеты; - 1 лимонная конфета; - 5 вишнёвых конфет. В трех оставшихся пакетиках у нас должно быть по 3 конфеты. Например: - 1 пакетик: 1 апельсиновая + 2 вишневые; - 1 пакетик: 1 лимонная + 2 вишневые; - 1 пакетик: 2 клубничные + 1 вишневая. Значит у нас будет 5 пакетиков, в которых есть и апельсиновая, и клубничная, и лимонная конфеты. Ответ: 5 пакетиков.