48. Цилиндр, вписанный в конус. Условие задания: Цилиндр вписан в конус с образующей \(l = 18\) см. Прямая, проведённая через центр верхнего основания цилиндра и любую точку окружности основания конуса, образует с основанием конуса угол в \(30^\circ\). Угол образующей конуса с высотой конуса равен \(45^\circ\). С точностью до сотых определи радиус цилиндра \(r\).

Для решения задачи необходимо воспользоваться тригонометрическими соотношениями в прямоугольных треугольниках. 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса \(H\), радиусом основания конуса \(R\) и образующей конуса. Так как угол между образующей и высотой равен \(45^\circ\), то \(H = R\). 2. Пусть \(h\) - высота цилиндра. Тогда радиус верхнего основания цилиндра равен \(R - h \cdot tg(30^\circ)\). 3. Так как прямая, проведённая через центр верхнего основания цилиндра и любую точку окружности основания конуса, образует с основанием конуса угол \(30^\circ\), то радиус верхнего основания цилиндра равен \(R - h \cdot tg(30^\circ)\). 4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной образующей конуса (9 см), радиусом цилиндра (r) и половиной высоты цилиндра (h/2). Угол при вершине этого треугольника равен 30 градусам. 5. Запишем выражение для тангенса этого угла: \(tg(30^\circ) = \frac{r}{\frac{h}{2}}\) или \(r = \frac{h}{2} \cdot tg(30^\circ)\). Так как \(tg(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\, то \(r = \frac{h}{2\sqrt{3}}\, а значит, \(h = 2r\sqrt{3}\). 6. Рассмотрим треугольник, образованный высотой конуса, радиусом основания конуса и образующей конуса. Так как угол между высотой и образующей равен 45 градусам, то высота конуса равна радиусу основания: \(H=R\). 7. Выразим радиус основания конуса через высоту цилиндра и радиус цилиндра: \(R = r + h \cdot tg(30^\circ) = r + h \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = r + 2r\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = r + 2r = 3r\). 8. Высота конуса равна \(H\). 9. Рассмотрим конус и прямоугольный треугольник, образованный высотой, радиусом и образующей. По теореме Пифагора, \(H^2 + R^2 = l^2\), то есть \(H^2 + (3r)^2 = 18^2\). 10. Так как \(H = R\), то \(H = 3r\). 11. Подставим это в уравнение: \((3r)^2 + (3r)^2 = 18^2\), то есть \(18r^2 = 324\). Следовательно, \(r^2 = 18\). 12. \(r = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4.2426\). 13. Округлим до сотых: \(r \approx 4.24\) см. Ответ: \(r \approx\) 4.24 см.