Три положительных числа, взятые в определенном порядке, образуют арифметическую прогрессию. Если среднее из чисел уменьшить в 2 раза, то в том же порядке получится геометрическая прогрессия. Найти ее знаменатель.

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту интересную задачу вместе. Задача: Три положительных числа, взятые в определенном порядке, образуют арифметическую прогрессию. Если среднее из чисел уменьшить в 2 раза, то в том же порядке получится геометрическая прогрессия. Найти ее знаменатель. Решение: 1. Обозначения: Пусть три числа, образующие арифметическую прогрессию, будут (a), (b), (c). Так как это арифметическая прогрессия, то (b = a + d) и (c = a + 2d), где (d) — разность арифметической прогрессии. 2. Условие задачи: Если среднее число (b) уменьшить в 2 раза, то получим геометрическую прогрессию. Значит, (a), (\frac{b}{2}\), (c) образуют геометрическую прогрессию. 3. Геометрическая прогрессия: Для геометрической прогрессии выполняется условие: квадрат среднего члена равен произведению крайних членов. То есть, \[ \left(\frac{b}{2}\right)^2 = ac \] Заменим (b) и (c) через (a) и (d): \[ \left(\frac{a + d}{2}\right)^2 = a(a + 2d) \] 4. Решение уравнения: Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ \frac{(a + d)^2}{4} = a^2 + 2ad \] Умножим обе части на 4: \[ (a + d)^2 = 4a^2 + 8ad \] \[ a^2 + 2ad + d^2 = 4a^2 + 8ad \] \[ 0 = 3a^2 + 6ad - d^2 \] 5. Выразим (a) через (d): Разделим обе части на (d^2) и введём переменную (x = \frac{a}{d}\): \[ 3x^2 + 6x - 1 = 0 \] Решим квадратное уравнение относительно (x): \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 12}}{6} = \frac{-6 \pm \sqrt{48}}{6} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{3}}{6} = -1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} \] Так как (a) и (d) положительные числа, то (x) тоже должно быть положительным. Поэтому выбираем положительный корень: \[ x = -1 + \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3} - 3}{3} \] Таким образом, (a = d \cdot \frac{2\sqrt{3} - 3}{3}). 6. Найдем знаменатель геометрической прогрессии (q): Знаменатель геометрической прогрессии (q) равен отношению второго члена к первому, или третьего к второму. Используем первое отношение: \[ q = \frac{b}{2a} = \frac{a + d}{2a} = \frac{a}{2a} + \frac{d}{2a} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2x} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2(2\sqrt{3} - 3)} \] Упростим это выражение: \[ q = \frac{1}{2} + \frac{3(2\sqrt{3} + 3)}{2(12 - 9)} = \frac{1}{2} + \frac{3(2\sqrt{3} + 3)}{6} = \frac{1}{2} + \frac{2\sqrt{3} + 3}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3} \] Или же можно посчитать отношение третьего члена ко второму: \[q = \frac{c}{\frac{b}{2}} = \frac{2c}{b} = \frac{2(a+2d)}{a+d} = \frac{2a+4d}{a+d} = \frac{2(\frac{2\sqrt{3} - 3}{3})d + 4d}{(\frac{2\sqrt{3} - 3}{3})d + d} = \frac{\frac{4\sqrt{3} - 6}{3} + 4}{\frac{2\sqrt{3} - 3}{3} + 1} = \frac{\frac{4\sqrt{3} - 6 + 12}{3}}{\frac{2\sqrt{3} - 3 + 3}{3}} = \frac{4\sqrt{3} + 6}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3} + 3}{\sqrt{3}} = \frac{(2\sqrt{3} + 3)\sqrt{3}}{3} = \frac{6 + 3\sqrt{3}}{3} = 2 + \sqrt{3}\] 7. Ответ: Знаменатель геометрической прогрессии равен (2 + \sqrt{3}\). Развернутый ответ для школьника: Представьте, что у нас есть три числа, которые идут по порядку и увеличиваются на одну и ту же величину (арифметическая прогрессия). Например, 1, 3, 5 (увеличиваются на 2). Если мы среднее число (в нашем примере это 3) уменьшим в два раза (получим 1.5), то получим новую последовательность: 1, 1.5, 5. Эта новая последовательность будет геометрической прогрессией, где каждое следующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число (знаменатель). Наша задача — найти это число. Мы использовали алгебру, чтобы выразить все числа через переменные и составить уравнения. Решив эти уравнения, мы нашли, чему равен знаменатель геометрической прогрессии. Ответ получился (2 + \sqrt{3}\), что примерно равно 3.73.