Требуется найти обратную матрицу для матрицы A: $\begin{pmatrix} 2 & 7 & 3 \\ 3 & 9 & 4 \\ 1 & 5 & 3 \end{pmatrix}$

Для нахождения обратной матрицы A необходимо выполнить следующие шаги: 1. Вычислить определитель матрицы A. Если определитель равен нулю, то обратной матрицы не существует. 2. Найти матрицу алгебраических дополнений (матрицу кофакторов). 3. Транспонировать матрицу алгебраических дополнений (получаем присоединённую матрицу). 4. Разделить каждый элемент присоединённой матрицы на определитель исходной матрицы. Давайте вычислим определитель матрицы A: $\det(A) = 2(9 \cdot 3 - 4 \cdot 5) - 7(3 \cdot 3 - 4 \cdot 1) + 3(3 \cdot 5 - 9 \cdot 1) = 2(27 - 20) - 7(9 - 4) + 3(15 - 9) = 2(7) - 7(5) + 3(6) = 14 - 35 + 18 = -3$ Теперь найдем матрицу алгебраических дополнений: $C_{11} = 9 \cdot 3 - 4 \cdot 5 = 27 - 20 = 7$ $C_{12} = -(3 \cdot 3 - 4 \cdot 1) = -(9 - 4) = -5$ $C_{13} = 3 \cdot 5 - 9 \cdot 1 = 15 - 9 = 6$ $C_{21} = -(7 \cdot 3 - 3 \cdot 5) = -(21 - 15) = -6$ $C_{22} = 2 \cdot 3 - 3 \cdot 1 = 6 - 3 = 3$ $C_{23} = -(2 \cdot 5 - 7 \cdot 1) = -(10 - 7) = -3$ $C_{31} = 7 \cdot 4 - 3 \cdot 9 = 28 - 27 = 1$ $C_{32} = -(2 \cdot 4 - 3 \cdot 3) = -(8 - 9) = 1$ $C_{33} = 2 \cdot 9 - 7 \cdot 3 = 18 - 21 = -3$ Матрица алгебраических дополнений: $\begin{pmatrix} 7 & -5 & 6 \\ -6 & 3 & -3 \\ 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}$ Транспонируем матрицу алгебраических дополнений: $\begin{pmatrix} 7 & -6 & 1 \\ -5 & 3 & 1 \\ 6 & -3 & -3 \end{pmatrix}$ Теперь разделим каждый элемент полученной матрицы на определитель исходной матрицы (-3): $A^{-1} = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix} 7 & -6 & 1 \\ -5 & 3 & 1 \\ 6 & -3 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{7}{3} & 2 & -\frac{1}{3} \\ \frac{5}{3} & -1 & -\frac{1}{3} \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ Таким образом, обратная матрица A равна: $\begin{pmatrix} -\frac{7}{3} & 2 & -\frac{1}{3} \\ \frac{5}{3} & -1 & -\frac{1}{3} \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ Правильный ответ: $\mathbf{A^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{7}{3} & 2 & -\frac{1}{3} \\ \frac{5}{3} & -1 & -\frac{1}{3} \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}}$