Точка H является основанием высоты BH, проведенной из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите BH, если PK = 14.

Привет, ученики! Давайте разберем эту задачу по геометрии. Дано: * Треугольник ABC - прямоугольный (угол B = 90°) * BH - высота, проведенная из вершины B к стороне AC * Окружность с диаметром BH пересекает AB в точке P и CB в точке K * PK = 14 Найти: BH Решение: 1. Рассмотрим четырехугольник BPKH. Так как BH - диаметр окружности, а точки P и K лежат на окружности, то углы BPH и BKH - прямые (вписанные углы, опирающиеся на диаметр). Следовательно, \(\angle BPH = 90^\circ\) и \(\angle BKH = 90^\circ\). 2. Рассмотрим треугольник PBK. Сумма углов треугольника равна 180°. Так как \(\angle PBK = 90^\circ\) (по условию ABC - прямоугольный), то \(\angle BPK + \angle BKР = 90^\circ\). 3. Теперь рассмотрим четырехугольник BPKH. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Из этого следует: \(\angle PBK + \angle BKH + \angle PHB + \angle HPK = 360^\circ\) \(90^\circ + 90^\circ + \angle PHK + \angle HPK = 360^\circ\) \(\angle PHK + \angle HPK = 180^\circ\) Но так как углы BPK и BKH прямые, то вокруг четырехугольника BPKH можно описать окружность. Значит, сумма противоположных углов равна 180 градусам. То есть \(\angle PBK + \angle PHK = 180^\circ\). Следовательно, \(\angle PHK = 90^\circ\). 4. Заметим, что \(\angle HPK = \angle HBK\) (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу HK). Аналогично, \(\angle HPK = \angle HBP\). 5. Рассмотрим треугольники ABC и PBK. \(\angle ABC = \angle PBK = 90^\circ\). Также \(\angle BAC = 90^\circ - \angle BCA\). В треугольнике PBK, \(\angle BPK = 90^\circ - \angle BKP\). Отсюда следует, что \(\angle BAC = \angle BPK\). Значит, треугольники ABC и PBK подобны по двум углам. 6. Рассмотрим треугольник PBK. Так как углы BPH и BKH прямые, то PK является гипотенузой в прямоугольном треугольнике PBK. 7. Так как треугольник ABC прямоугольный и BH - высота, проведенная к гипотенузе, то \(\triangle ABH \sim \triangle CBH\) и \(\triangle ABH \sim \triangle ABC\). 8. Заметим, что четырёхугольник BPKH - прямоугольник, так как все его углы прямые. Следовательно, PK = BH. Ответ: Так как PK = 14, то BH = 14. BH = 14