18. Тип 17.№ 9294 В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 9 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 7, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в три раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе?

Пусть в погребе хранилось x головок сыра. В первую ночь мышки съели 9 головок, и все мышки съели поровну. Пусть было m мышек, тогда каждая мышка съела \(\frac{9}{m}\) головок сыра. Во вторую ночь пришли 7 мышек, и каждая съела в 3 раза меньше, то есть \(\frac{9}{3m} = \frac{3}{m}\) головок сыра. Всего они съели \(7 \cdot \frac{3}{m} = \frac{21}{m}\) головок сыра. Всего было съедено x головок сыра, то есть \[ 9 + \frac{21}{m} = x \] Так как m - целое число (количество мышек), то \(\frac{21}{m}\) также должно быть целым числом. Значит, m является делителем числа 21. Делители числа 21: 1, 3, 7, 21. Если m=1, то \(x = 9 + 21 = 30\). Если m=3, то \(x = 9 + 7 = 16\). Если m=7, то \(x = 9 + 3 = 12\). Если m=21, то \(x = 9 + 1 = 10\). Так как во вторую ночь мышки доели оставшийся сыр, значит, количество оставшегося сыра должно делиться на 7, то есть \(x-9\) делится на 7. Проверим варианты: Если x=30, то \(30-9 = 21\). 21 делится на 7. Подходит. Если x=16, то \(16-9 = 7\). 7 делится на 7. Подходит. Если x=12, то \(12-9 = 3\). 3 не делится на 7. Не подходит. Если x=10, то \(10-9 = 1\). 1 не делится на 7. Не подходит. Если x=30, то в первую ночь каждая мышка съела \(\frac{9}{1} = 9\), а во вторую \(\frac{3}{1} = 3\). Тогда во вторую ночь осталось \(30-9 = 21\) головок сыра, и 7 мышек съели по 3 головки каждая. Если x=16, то в первую ночь каждая мышка съела \(\frac{9}{3} = 3\), а во вторую \(\frac{3}{3} = 1\). Тогда во вторую ночь осталось \(16-9 = 7\) головок сыра, и 7 мышек съели по 1 головке каждая. Оба варианта подходят. Но в условии задачи сказано, что было несколько головок сыра, то есть больше 1. Следовательно, оба ответа возможны. Ответ: 30 или 16 головок сыра хранилось в погребе.