Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 15. Если к этим числам прибавить соответственно 1, 1 и 4, то образуется геометрическая прогрессия. Найдите данные числа.

Ответ:

\[\left\{ \begin{matrix} a + b + c = 15\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ b = \frac{a + c}{2}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ (a + 1)(c + 4) = (b + 1)^{2} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} 3b = 15\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ a + c = 2b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ ac + 4a + c + 4 = b^{2} + 2b + 1 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} b = 5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ a + c = 10,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ c = 10 - a \\ ac + 4a + c - b^{2} - 2b + 3 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[- a^{2} + 10a + 3a - 22 = 0\]

\[a^{2} - 13a + 22 = 0\]

\[a_{1} + a_{2} = 13;\ \ \ \ \ \ \ \ \ a_{1} \cdot a_{2} = 22\]

\[a = 11;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a = 2\]

\[\left\{ \begin{matrix} b = 5\ \ \ \\ a = 11 \\ c = - 1 \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ \ \ \ } \right.\ \left\{ \begin{matrix} b = 5 \\ a = 2 \\ c = 8 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Ответ:11;5;\ - 1\ \ \ или\ \ 2;5;8.\]