Стороны треугольника, описанного около окружности. Боковая сторона равнобедренного треугольника ABC делится точкой касания вписанной окружности в отношении 5:2, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 96 см. AB = ? см BC = ? см AC = ? см

Решение: Пусть боковая сторона треугольника равна $a$, а основание равно $b$. Точка касания делит боковую сторону в отношении 5:2, считая от вершины угла при основании. Это означает, что отрезок от вершины угла до точки касания равен $\frac{2}{7}a$, а отрезок от точки касания до вершины верхнего угла равен $\frac{5}{7}a$. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных от вершин к точкам касания равны. Поэтому: Отрезки от вершины A до точки касания и от вершины C до точки касания равны и равны $\frac{2}{7}a$. Отрезки от вершины B до точек касания на боковых сторонах равны и равны $\frac{5}{7}a$. Следовательно, основание AC равно $2 * \frac{2}{7}a = \frac{4}{7}a$, то есть $b = \frac{4}{7}a$. Периметр треугольника равен $2a + b = 96$ см. Подставим $b = \frac{4}{7}a$ в уравнение периметра: $2a + \frac{4}{7}a = 96$ $\frac{14}{7}a + \frac{4}{7}a = 96$ $\frac{18}{7}a = 96$ $a = \frac{96 * 7}{18} = \frac{16 * 7}{3} = \frac{112}{3}$ см Теперь найдем основание $b$: $b = \frac{4}{7}a = \frac{4}{7} * \frac{112}{3} = \frac{4 * 16}{3} = \frac{64}{3}$ см Итак, боковые стороны $AB = BC = \frac{112}{3} = 37\frac{1}{3}$ см, а основание $AC = \frac{64}{3} = 21\frac{1}{3}$ см. Ответ: $AB = 37\frac{1}{3}$ см $BC = 37\frac{1}{3}$ см $AC = 21\frac{1}{3}$ см Проверка: $2 * \frac{112}{3} + \frac{64}{3} = \frac{224}{3} + \frac{64}{3} = \frac{288}{3} = 96$ см. Периметр сходится. Ответ: AB = 37 1/3 см BC = 37 1/3 см AC = 21 1/3 см