Стороны ромба длиной 16 см касаются сферы. Острый угол ромба равен 60°. Определи расстояние плоскости ромба от центра сферы, если радиус сферы равен 8 см.

Пусть дан ромб ABCD со стороной $a = 16$ см и острым углом $\angle BAC = 60^\circ$. Пусть ромб касается сферы в точках K, L, M, N. Пусть O – центр сферы, а E – точка пересечения диагоналей ромба. Расстояние от плоскости ромба до центра сферы – это длина отрезка OE. 1. Найдем высоту ромба, проведенную из вершины B к стороне AD. Обозначим ее BH. В прямоугольном треугольнике ABH: $\sin(\angle BAH) = \frac{BH}{AB}$ $\sin(60^\circ) = \frac{BH}{16}$ $BH = 16 \cdot \sin(60^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ см. 2. Площадь ромба равна произведению стороны на высоту: $S_{ABCD} = AD \cdot BH = 16 \cdot 8\sqrt{3} = 128\sqrt{3}$ см$^2$. 3. Радиус вписанной в ромб окружности равен половине высоты, то есть $r = \frac{BH}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см. Эта окружность является сечением сферы плоскостью ромба, и её центр совпадает с точкой E (точка пересечения диагоналей ромба). 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник OEA, где OA – радиус сферы, OE – искомое расстояние, EA – радиус вписанной в ромб окружности. По теореме Пифагора: $OA^2 = OE^2 + EA^2$ $OE^2 = OA^2 - EA^2$ $OE = \sqrt{OA^2 - EA^2}$ $OE = \sqrt{8^2 - (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 - 16 \cdot 3} = \sqrt{64 - 48} = \sqrt{16} = 4$ см. Ответ: плоскость ромба находится на расстоянии 4 см от центра сферы.