0. 19. Составьте уравнение касательной к графику функции y = f(x), проходящей через точку с абсциссой a: a) f(x) = x³ - 6x², a = 2; б) f(x) = 1/x + 1/x², a = 1; в) f(x) = 12/√x - x, a = 9; г) f(x) = 3x³ - 5x² - 2, a = 2; д) f(x) = x³ – 3√x, a = 1; e) f(x) = 1/x³ + 6√x, a = 1. 20. Составьте уравнение той касательной к графику функции y = g(x), которая параллельна указанной прямой: a) g(x) = 1/3x³ - 2, y = 9x - 1; б) g(x) = -x³ + 3x² - 6x, y = 2 − x;

Давай решим несколько задач из этих заданий. Задача 0.19 a) Составить уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^3 - 6x^2$ в точке с абсциссой $a = 2$. 1. Найдем значение функции в точке $x = a = 2$: $f(2) = (2)^3 - 6(2)^2 = 8 - 6(4) = 8 - 24 = -16$ Итак, точка касания: $(2, -16)$. 2. Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = 3x^2 - 12x$ 3. Найдем значение производной в точке $x = a = 2$: $f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) = 3(4) - 24 = 12 - 24 = -12$ Это угловой коэффициент касательной $k = -12$. 4. Уравнение касательной имеет вид: $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Подставляем найденные значения: $y = -12(x - 2) - 16$ $y = -12x + 24 - 16$ $y = -12x + 8$ Ответ: Уравнение касательной: $y = -12x + 8$. Задача 0.19 б) Составить уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$ в точке с абсциссой $a = 1$. 1. Найдем значение функции в точке $x = a = 1$: $f(1) = \frac{1}{1} + \frac{1}{1^2} = 1 + 1 = 2$ Итак, точка касания: $(1, 2)$. 2. Найдем производную функции $f(x)$: $f(x) = x^{-1} + x^{-2}$ $f'(x) = -1x^{-2} - 2x^{-3} = -\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^3}$ 3. Найдем значение производной в точке $x = a = 1$: $f'(1) = -\frac{1}{1^2} - \frac{2}{1^3} = -1 - 2 = -3$ Это угловой коэффициент касательной $k = -3$. 4. Уравнение касательной имеет вид: $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Подставляем найденные значения: $y = -3(x - 1) + 2$ $y = -3x + 3 + 2$ $y = -3x + 5$ Ответ: Уравнение касательной: $y = -3x + 5$. Задача 0.19 в) Составить уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{12}{\sqrt{x}} - x$ в точке с абсциссой $a = 9$. 1. Найдем значение функции в точке $x = a = 9$: $f(9) = \frac{12}{\sqrt{9}} - 9 = \frac{12}{3} - 9 = 4 - 9 = -5$ Итак, точка касания: $(9, -5)$. 2. Найдем производную функции $f(x)$: $f(x) = 12x^{-\frac{1}{2}} - x$ $f'(x) = 12(-\frac{1}{2})x^{-\frac{3}{2}} - 1 = -6x^{-\frac{3}{2}} - 1 = -\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} - 1$ 3. Найдем значение производной в точке $x = a = 9$: $f'(9) = -\frac{6}{9^{\frac{3}{2}}} - 1 = -\frac{6}{(\sqrt{9})^3} - 1 = -\frac{6}{3^3} - 1 = -\frac{6}{27} - 1 = -\frac{2}{9} - 1 = -\frac{11}{9}$ Это угловой коэффициент касательной $k = -\frac{11}{9}$. 4. Уравнение касательной имеет вид: $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Подставляем найденные значения: $y = -\frac{11}{9}(x - 9) - 5$ $y = -\frac{11}{9}x + 11 - 5$ $y = -\frac{11}{9}x + 6$ Ответ: Уравнение касательной: $y = -\frac{11}{9}x + 6$. Задача 0.20 a) Составить уравнение касательной к графику функции $g(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2$, которая параллельна прямой $y = 9x - 1$. 1. Найдем производную функции $g(x)$: $g'(x) = x^2$ 2. Угловой коэффициент прямой $y = 9x - 1$ равен 9. Так как касательная параллельна этой прямой, то угловой коэффициент касательной также равен 9. $g'(x) = 9$ $x^2 = 9$ $x = \pm 3$ 3. Найдем значения функции $g(x)$ в точках $x = 3$ и $x = -3$: $g(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - 2 = \frac{1}{3}(27) - 2 = 9 - 2 = 7$ $g(-3) = \frac{1}{3}(-3)^3 - 2 = \frac{1}{3}(-27) - 2 = -9 - 2 = -11$ Итак, точки касания: $(3, 7)$ и $(-3, -11)$. 4. Уравнение касательной имеет вид: $y = g'(a)(x - a) + g(a)$. Для точки $(3, 7)$: $y = 9(x - 3) + 7$ $y = 9x - 27 + 7$ $y = 9x - 20$ Для точки $(-3, -11)$: $y = 9(x + 3) - 11$ $y = 9x + 27 - 11$ $y = 9x + 16$ Ответ: Уравнения касательных: $y = 9x - 20$ и $y = 9x + 16$. Внимательно изучи эти примеры, и ты сможешь решить остальные задачи самостоятельно! Удачи!