Сколько существует восьмизначных чисел, состоящих из цифр 7, 5 и 9, в которых цифра 7 повторяется 4 раза, а цифры 5 и 9 - по 2 раза?

Для решения этой задачи нам нужно использовать комбинаторику. У нас есть восьмизначное число, где цифра 7 повторяется 4 раза, цифра 5 повторяется 2 раза, и цифра 9 повторяется 2 раза. Общее количество перестановок можно вычислить с помощью формулы для перестановок с повторениями: $$\frac{n!}{n_1!n_2!...n_k!}$$ где $n$ - общее количество элементов, а $n_1, n_2, ..., n_k$ - количество повторений каждого уникального элемента. В нашем случае, $n = 8$ (общее количество цифр), $n_1 = 4$ (количество повторений цифры 7), $n_2 = 2$ (количество повторений цифры 5), и $n_3 = 2$ (количество повторений цифры 9). Подставляем значения в формулу: $$\frac{8!}{4!2!2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{2 \times 2} = 2 \times 7 \times 6 \times 5 = 420$$ Таким образом, существует 420 различных восьмизначных чисел, удовлетворяющих условиям задачи. Ответ: 420