Шар описан вокруг равностороннего конуса (осевое сечение — равносторонний треугольник). Найди радиус шара, если образующая конуса равна 12 см.

Рассмотрим равносторонний конус, вокруг которого описан шар. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник. Пусть сторона этого треугольника (образующая конуса) равна $a = 12$ см. Центр шара, описанного вокруг конуса, лежит на пересечении серединных перпендикуляров сторон осевого сечения конуса (равностороннего треугольника). В равностороннем треугольнике серединные перпендикуляры являются также медианами и высотами. Радиус $R$ описанного шара равен радиусу окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника. Известно, что радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника со стороной $a$, равен: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ В нашем случае $a = 12$ см, поэтому: $R = \frac{12}{\sqrt{3}}$ Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $R = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см Таким образом, радиус шара равен $4\sqrt{3}$ см. Ответ: 4