2. Серединный перпендикуляр к диагонали прямоугольника делит его сторону на части, одна из которых в два раза больше другой. Найдите градусные меры углов между этой диагональю и сторонами прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$, и серединный перпендикуляр к диагонали $AC$ пересекает сторону $AB$ в точке $M$. Пусть $AM = x$, тогда $MB = 2x$. Значит, $AB = AM + MB = x + 2x = 3x$. Так как серединный перпендикуляр к $AC$ проходит через точку $M$, то $AM = MC = x$. Рассмотрим треугольник $AMC$. Он равнобедренный, так как $AM = MC$. Пусть $angle MAC = alpha$. Тогда $angle MCA = alpha$. Значит, $angle AMC = 180^{circ} - 2alpha$. $angle CMB$ смежный с $angle AMC$, следовательно, $angle CMB = 180^{circ} - (180^{circ} - 2alpha) = 2alpha$. В прямоугольном треугольнике $CBM$ имеем: $ an(angle BCM) = rac{MB}{BC} = rac{2x}{AD}$. Так как $AD = BC$ и $BC = AB = 3x$, то $ an(angle BCM) = rac{2x}{3x} = rac{2}{3}$. С другой стороны, $angle ABC = 90^{circ}$, значит, $angle BCM + angle MCA = 90^{circ}$. $angle BCM = 90^{circ} - alpha$. Таким образом, $ an(90^{circ} - alpha) = rac{2}{3}$. Так как $ an(90^{circ} - alpha) = cot(alpha)$, то $cot(alpha) = rac{2}{3}$, значит, $ an(alpha) = rac{3}{2}$. Тогда $alpha = arctan(rac{3}{2}) approx 56.31^{circ}$. $angle BCM = 90^{circ} - alpha = 90^{circ} - 56.31^{circ} approx 33.69^{circ}$. Углы между диагональю и сторонами прямоугольника: $56.31^{circ}$ и $33.69^{circ}$. Ответ: 56.31° и 33.69°