4. Считаем делители. Пусть разложение натурального числа $n$ на различные простые множители имеет вид $n = p^s q^t \dots$, где $s, t - это$ положительные натуральные числа. Найди максимально возможное количество натуральных делителей числа $n^3$, если $n^2$ имеет 81 натуральный делитель.

Разберем задачу по шагам. 1. Анализ условия: * $n = p^s q^t ...$, где p, q - простые числа, s, t - натуральные числа. * Количество делителей числа $n$ равно $(s+1)(t+1)...$ * Число $n^2$ имеет 81 делитель, т.е. количество делителей $n^2$ равно $(2s+1)(2t+1)... = 81$ * Нужно найти максимальное количество делителей $n^3$. Количество делителей $n^3$ равно $(3s+1)(3t+1)...$ 2. Найдем возможные варианты для делителей числа $n^2$: Число 81 можно представить в виде произведения натуральных чисел несколькими способами: * $81 = 81$ * $81 = 9 cdot 9$ * $81 = 3 cdot 3 cdot 9$ * $81 = 3 cdot 3 cdot 3 cdot 3$ 3. Рассмотрим каждый случай: * Случай 1: $(2s+1) = 81$, тогда $2s = 80$, $s = 40$. Значит, $n = p^{40}$. Тогда количество делителей $n^3$ равно $3s+1 = 3 cdot 40 + 1 = 121$. * Случай 2: $(2s+1)(2t+1) = 9 cdot 9$, тогда $2s+1 = 9$ и $2t+1 = 9$. Значит, $2s = 8$, $s = 4$ и $2t = 8$, $t = 4$. Следовательно, $n = p^4 q^4$. Тогда количество делителей $n^3$ равно $(3s+1)(3t+1) = (3 cdot 4 + 1)(3 cdot 4 + 1) = 13 cdot 13 = 169$. * Случай 3: $(2s+1)(2t+1)(2u+1) = 3 cdot 3 cdot 9$, тогда $2s+1 = 3$, $2t+1 = 3$ и $2u+1 = 9$. Значит, $2s = 2$, $s = 1$, $2t = 2$, $t = 1$ и $2u = 8$, $u = 4$. Следовательно, $n = p^1 q^1 r^4$. Тогда количество делителей $n^3$ равно $(3s+1)(3t+1)(3u+1) = (3 cdot 1 + 1)(3 cdot 1 + 1)(3 cdot 4 + 1) = 4 cdot 4 cdot 13 = 208$. * Случай 4: $(2s+1)(2t+1)(2u+1)(2v+1) = 3 cdot 3 cdot 3 cdot 3$, тогда $2s+1 = 3$, $2t+1 = 3$, $2u+1 = 3$ и $2v+1 = 3$. Значит, $2s = 2$, $s = 1$, $2t = 2$, $t = 1$, $2u = 2$, $u = 1$ и $2v = 2$, $v = 1$. Следовательно, $n = p^1 q^1 r^1 w^1$. Тогда количество делителей $n^3$ равно $(3s+1)(3t+1)(3u+1)(3v+1) = (3 cdot 1 + 1)(3 cdot 1 + 1)(3 cdot 1 + 1)(3 cdot 1 + 1) = 4 cdot 4 cdot 4 cdot 4 = 256$. 4. Выбираем максимальное значение: Сравниваем полученные значения: 121, 169, 208, 256. Максимальное количество делителей равно 256. Ответ: 256