Робот Граумер любит играть в такую игру: он представляет в уме числа от 1 до 1 000 000 и многократно заменяет каждое число на сумму его цифр до тех пор, пока все числа не станут однозначными. Какая цифра в итоге будет встречаться чаще всего?

Давайте разберемся, как робот Граумер преобразует числа. Он берет число, считает сумму его цифр, затем берет полученную сумму и снова считает сумму её цифр, и так до тех пор, пока не получится однозначное число. Например, для числа 123: 123 -> 1 + 2 + 3 = 6. Для числа 99: 99 -> 9 + 9 = 18 -> 1 + 8 = 9. Заметим, что если число делится на 9, то и сумма его цифр делится на 9. Таким образом, любое число при такой операции рано или поздно превратится в однозначное число, которое является остатком от деления исходного числа на 9 (если остаток не равен 0, а если равен 0, то получится 9). Теперь посмотрим на числа от 1 до 1 000 000. Каждое число можно представить в виде 9k + r, где k - целое число, а r - остаток от деления на 9 (r = 0, 1, 2, ..., 8). Если r = 0, то число превратится в 9. При делении 1 000 000 на 9 получаем: 1 000 000 = 9 * 111 111 + 1 Это значит, что среди чисел от 1 до 1 000 000, остатки от 1 до 8 будут встречаться по 111 111 раз, а остаток 0 (то есть число 9) будет встречаться 111 111 + 1 = 111 112 раз (так как число 9 само по себе тоже учитывается). Следовательно, цифра 1 встретится 111 111 раз, цифра 2 встретится 111 111 раз, ..., цифра 8 встретится 111 111 раз, а цифра 9 встретится 111 112 раз. Таким образом, чаще всего будет встречаться цифра 1. Ответ: 1