Решите задачу: В тупоугольном треугольнике ABC известно, что AC=BC=10, высота AH равна \(\sqrt{19}\). Найдите косинус угла ACB.

Решение: 1. Анализ условия: У нас есть тупоугольный треугольник ABC, где AC и BC равны, то есть он равнобедренный. Высота AH опущена из вершины A на сторону BC. Нужно найти косинус угла ACB. 2. Свойство равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, \(\angle CAB = \angle CBA\). 3. Рассмотрим треугольник AHC: Это прямоугольный треугольник, так как AH - высота. Мы знаем AC = 10 и AH = \(\sqrt{19}\). Можем найти CH по теореме Пифагора. 4. Теорема Пифагора для треугольника AHC: \(AC^2 = AH^2 + CH^2\) \(10^2 = (\sqrt{19})^2 + CH^2\) \(100 = 19 + CH^2\) \(CH^2 = 81\) \(CH = 9\) 5. Найдем HB: Так как BC = 10 и CH = 9, то HB = BC - CH = 10 - 9 = 1. 6. Найдем косинус угла ACB, используя теорему косинусов: \(AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 * AC * BC * cos(\angle ACB)\) 7. Найдем AB из треугольника AHB: \(AB^2 = AH^2 + HB^2\) \(AB^2 = (\sqrt{19})^2 + 1^2\) \(AB^2 = 19 + 1\) \(AB^2 = 20\) \(AB = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) 8. Подставим найденные значения в теорему косинусов: \((2\sqrt{5})^2 = 10^2 + 10^2 - 2 * 10 * 10 * cos(\angle ACB)\) \(20 = 100 + 100 - 200 * cos(\angle ACB)\) \(20 = 200 - 200 * cos(\angle ACB)\) \(200 * cos(\angle ACB) = 180\) \(cos(\angle ACB) = \frac{180}{200} = \frac{9}{10} = 0.9\) Ответ: 0.9