Решите задачу: В квадрат со стороной $a$ вписана окружность. Найдите сторону правильного треугольника, описанного около этой окружности.

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту интересную геометрическую задачу. **1. Визуализация задачи:** Представим себе квадрат со стороной $a$, внутри которого находится окружность, касающаяся всех сторон квадрата. Теперь вокруг этой окружности опишем правильный треугольник. **2. Нахождение радиуса вписанной окружности:** Так как окружность вписана в квадрат со стороной $a$, её диаметр равен стороне квадрата. Следовательно, радиус окружности $r$ равен половине стороны квадрата: $r = \frac{a}{2}$ **3. Связь радиуса вписанной окружности и стороны описанного правильного треугольника:** Радиус вписанной окружности правильного треугольника связан с его стороной формулой: $r = \frac{b}{2\sqrt{3}}$, где $b$ - сторона правильного треугольника. **4. Выражение стороны треугольника через радиус:** Выразим сторону правильного треугольника $b$ через радиус $r$: $b = 2\sqrt{3} \cdot r$ **5. Подстановка значения радиуса:** Теперь подставим найденное ранее значение радиуса $r = \frac{a}{2}$ в формулу для стороны треугольника $b$: $b = 2\sqrt{3} \cdot \frac{a}{2} = a\sqrt{3}$ Таким образом, сторона правильного треугольника, описанного около окружности, вписанной в квадрат со стороной $a$, равна $a\sqrt{3}$. **Ответ:** Сторона правильного треугольника равна $\boxed{a\sqrt{3}}$.