Решите задачу про обмен кристаллов, звезд и монет.

Давайте решим задачу про обмены в компьютерной игре. Пусть $x$ - количество обменов по первому правилу (2 звезды на 3 кристалла и 1 монету), а $y$ - количество обменов по второму правилу (5 кристаллов на 3 звезды и 1 монету). Поскольку звёзд у Костика не появилось, количество полученных звезд должно быть равно количеству отданных звезд. После обменов у Костика появилось 50 монет. Значит, общее количество монет, полученных при обменах, равно 50. Получаем уравнение для монет: \[x + y = 50\] Так как звёзд не появилось, количество отданных звезд должно быть равно количеству полученных звезд: \[2x = 3y\] Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными: \begin{cases} x + y = 50 \\ 2x = 3y \end{cases} Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 50 - y$. Подставим это во второе уравнение: \[2(50 - y) = 3y\] \[100 - 2y = 3y\] \[100 = 5y\] \[y = 20\] Теперь найдем $x$: \[x = 50 - y = 50 - 20 = 30\] Теперь определим, как изменилось количество кристаллов. При каждом обмене первого типа (x=30) Костик получал 3 кристалла, а при каждом обмене второго типа (y=20) Костик отдавал 5 кристаллов. Таким образом, общее изменение количества кристаллов равно: \[\Delta \text{кристаллов} = 3x - 5y = 3(30) - 5(20) = 90 - 100 = -10\] Значит, количество кристаллов у Костика уменьшилось на 10. **Ответ:** Количество кристаллов у Костика уменьшилось на 10. **Разъяснение для ученика:** 1. **Переменные:** Мы обозначили количество обменов первого типа как $x$, а второго типа как $y$. 2. **Уравнение для монет:** Каждая операция обмена даёт 1 монету. Так как всего получилось 50 монет, то сумма $x + y$ должна быть равна 50. 3. **Уравнение для звёзд:** Поскольку звёзд не появилось, количество отданных звёзд (2 звезды за каждый $x$) должно равняться количеству полученных звёзд (3 звезды за каждый $y$). 4. **Решение системы уравнений:** Мы нашли значения $x$ и $y$, решив систему уравнений. 5. **Изменение кристаллов:** Каждый обмен первого типа добавляет 3 кристалла, а каждый обмен второго типа отнимает 5 кристаллов. Мы посчитали общее изменение кристаллов и получили, что их количество уменьшилось на 10.