Решите задачу, представленную на изображении: В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 8 и sin(∠BAC) = 0,5. Найдите высоту AH.

Давайте решим эту задачу вместе. 1. **Анализ условия задачи:** - У нас есть треугольник ABC, где AC = BC. Это означает, что треугольник ABC равнобедренный. - AB = 8. Это основание равнобедренного треугольника. - \( \sin(\angle BAC) = 0.5 \). Это синус угла при основании. - Нужно найти высоту AH, проведенную к боковой стороне BC. 2. **Определение угла ∠BAC:** Так как \( \sin(\angle BAC) = 0.5 \), мы знаем, что \( \angle BAC = 30^{\circ} \) (потому что \( \sin(30^{\circ}) = 0.5 \)). 3. **Углы треугольника ABC:** Поскольку AC = BC, углы при основании равны, то есть \( \angle BAC = \angle ABC = 30^{\circ} \). Теперь найдем \( \angle ACB \): \( \angle ACB = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 120^{\circ} \). 4. **Нахождение AC (или BC):** Используем теорему синусов для треугольника ABC: \[ \frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} \] Подставляем известные значения: \[ \frac{8}{\sin(120^{\circ})} = \frac{AC}{\sin(30^{\circ})} \] \( \sin(120^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \sin(30^{\circ}) = 0.5 \) \[ \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AC}{0.5} \] \[ AC = \frac{8 \cdot 0.5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \] 5. **Нахождение AH:** Теперь рассмотрим треугольник AHC. В этом треугольнике \( \angle ACH = 120^{\circ} \), и нам нужно найти AH. Мы знаем AC. Используем формулу площади треугольника ABC: Площадь можно выразить как \( S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH \). Так же площадь можно найти как \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\angle ACB) \). Приравняем эти выражения: \[ \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC) \] \[ \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{8\sqrt{3}}{3} \cdot \sin(30^{\circ}) \] Подставляем значения, зная, что BC = AC \( AH = \frac{AB \cdot \sin(\angle B)}{1} = 8 \sin(30^{\circ}) = 8 \cdot 0.5 = 4 \). Таким образом, AH = 4. **Ответ:** Высота AH равна 4.