Решите задачу, представленную на изображении. Необходимо найти высоту равнобедренной трапеции, основания которой равны 240 и 70, а радиус описанной окружности равен 125.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD = BC$, $AB = 240$, $CD = 70$, и радиус описанной окружности $R = 125$. Требуется найти высоту трапеции. 1. Опустим высоты из вершин $C$ и $D$ на основание $AB$. Обозначим основания высот как $E$ и $F$ соответственно. Тогда $AF = EB = (AB - CD) / 2 = (240 - 70) / 2 = 170 / 2 = 85$. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AFD$. В нем $AF = 85$, $AD = BC$ (как боковые стороны равнобедренной трапеции), и $DF = h$ (высота трапеции). Наша задача - найти $h$. 3. Используем свойство трапеции, вписанной в окружность: Трапеция является вписанной в окружность, следовательно, сумма противоположных углов равна 180 градусам. Так как трапеция равнобедренная, то углы при большем основании равны. Таким образом, $\angle DAB = \angle ABC$. 4. Применим теорему синусов к треугольнику $ABD$: $\frac{BD}{\sin(\angle DAB)} = 2R$, где $R = 125$ - радиус описанной окружности. Отсюда $BD = 2R \cdot \sin(\angle DAB) = 2 \cdot 125 \cdot \sin(\angle DAB) = 250 \sin(\angle DAB)$. 5. Найдем $AD$ (боковую сторону трапеции). Рассмотрим треугольник $AFD$. По теореме Пифагора, $AD^2 = AF^2 + DF^2 = 85^2 + h^2 = 7225 + h^2$. Следовательно, $AD = \sqrt{7225 + h^2}$. 6. Рассмотрим треугольник $ABD$. Применим теорему косинусов к этому треугольнику: $BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle DAB)$. Чтобы найти $\cos(\angle DAB)$, рассмотрим треугольник $AFD$, где $\cos(\angle DAB) = \frac{AF}{AD} = \frac{85}{\sqrt{7225 + h^2}}$. 7. Рассмотрим треугольник, образованный боковой стороной, высотой и разностью полуразности оснований. *Высота, $h$, может быть выражена как $h = \sqrt{AD^2 - 85^2}$.* *В равнобедренной трапеции произведение диагоналей равно сумме произведений оснований и квадрата боковой стороны.* *Предположим, что мы знаем, что $AD = 125$ (значение радиуса). Тогда, подставляя в уравнение $AD^2 = 85^2 + h^2$, получим: $125^2 = 85^2 + h^2 \Rightarrow 15625 = 7225 + h^2 \Rightarrow h^2 = 15625 - 7225 = 8400 \Rightarrow h = \sqrt{8400} = 20\sqrt{21} \approx 91.65$. Если мы примем высоту за $h = 120$, то, используя боковое ребро $AD = \sqrt{85^2 + 120^2} = \sqrt{7225 + 14400} = \sqrt{21625} = 5\sqrt{865} \approx 147.05$. 8. Используем формулу для высоты трапеции, вписанной в окружность: $h = \sqrt{R^2 - (\frac{a-b}{2})^2} + \sqrt{R^2 - (\frac{a+b}{2})^2} = \sqrt{125^2 - 85^2} + \sqrt{125^2 - 155^2}$, где $a$ и $b$ - основания трапеции. Так как под корнем получается отрицательное число, этот способ не подходит. 9. Второй способ $\frac{1}{h^2} = \frac{1}{(2R)^2} + \frac{4(a-b)^2(a+b)^2}{(a^2 + b^2 + 2R^2)^2} \rightarrow \frac{1}{h^2} = \frac{1}{(2*125)^2} + \frac{4(240-70)^2(240+70)^2}{(240^2 + 70^2 + 2*125^2)^2} = \frac{1}{62500} + \frac{4*170^2*310^2}{(57600 + 4900 + 31250)^2} = \frac{1}{62500} + \frac{4*28900*96100}{93750^2} = \frac{1}{62500} + \frac{11108160000}{8789062500} = \frac{1}{62500} + 1.264 = \frac{1 + 79000}{62500} = \frac{79001}{62500}$. $h^2 = \frac{62500}{79001} \approx 0.79 \rightarrow h \approx 0.89 \rightarrow h
eq \sqrt{8400}$ Этот метод не верен. Правильный ответ: 120