Решите задачу по геометрии. Основанием пирамиды является квадрат со стороной 40 см. Одно боковое ребро перпендикулярно плоскости основания и равно 9 см. Вычислите площадь боковой поверхности.

Рассмотрим пирамиду $SABCD$, где $ABCD$ - квадрат со стороной $AB = BC = CD = DA = 40$ см, а ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания, т.е. $SA = 9$ см. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей её боковых граней. В данном случае, это сумма площадей треугольников $SAB$, $SBC$, $SCD$ и $SDA$. 1. Треугольник $SAB$ является прямоугольным, так как $SA$ перпендикулярно плоскости основания, следовательно, $SA \perp AB$. Его площадь равна: $S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 40 = 180$ см$^2$. 2. Треугольник $SAD$ также является прямоугольным, так как $SA \perp AD$. Его площадь равна: $S_{SAD} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 40 = 180$ см$^2$. 3. Треугольник $SBC$. Найдем $SB$ по теореме Пифагора из треугольника $SAB$: $SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{9^2 + 40^2} = \sqrt{81 + 1600} = \sqrt{1681} = 41$ см. Так как $BC = 40$ см, то площадь $SBC$ равна: $S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SB \cdot sin(\angle SBC)$ Однако, проще рассмотреть $SBC$ как треугольник, где известны все стороны. Но т.к $SA \perp (ABC)$, то $SBC$ - прямоугольный треугольник и его площадь равна $S_{SBC} = \frac{1}{2} cdot BC cdot SA = \frac{1}{2} cdot 40 cdot sqrt{9^2 + 40^2} = \frac{1}{2} cdot 40 cdot 41 = 820$ см$^2$. 4. Треугольник $SDC$. Найдем $SD$ по теореме Пифагора из треугольника $SAD$: $SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{9^2 + 40^2} = \sqrt{81 + 1600} = \sqrt{1681} = 41$ см. Так как $SD = SB$, треугольник $SDC$ равен треугольнику $SBC$, то площадь $SDC$ равна: $S_{SDC} = \frac{1}{2} cdot DC cdot SC = \frac{1}{2} cdot 40 cdot \sqrt{41^2 + 9^2} = 820$ см$^2$. Следовательно, общая площадь боковой поверхности равна: $S_{бок} = S_{SAB} + S_{SAD} + S_{SBC} + S_{SDC} = 180 + 180 + 820 + 820 = 2000$ см$^2$. Площадь боковой поверхности пирамиды равна 1200 см$^2$ (180+180+420+420).