Решите задачу: Первые четыре цифры квадратного корня из двузначного числа одинаковы (т. е. он имеет вид a, aaa...). Найди это число.

Пусть двузначное число равно $x$. По условию, $\sqrt{x} = a.aaa...$, где $a$ - цифра от 1 до 9. Тогда $\sqrt{x}$ близко к числу вида $a.\overline{a} = a + \frac{a}{9} = \frac{10a}{9}$. Возведем в квадрат: $x = (\frac{10a}{9})^2 = \frac{100a^2}{81}$. Так как $x$ - двузначное число, то $10 \le x \le 99$, то есть $10 \le \frac{100a^2}{81} \le 99$. Домножим все части неравенства на 81: $810 \le 100a^2 \le 8019$. Разделим все части на 100: $8.1 \le a^2 \le 80.19$. Следовательно, $a$ может быть 3, 4, 5, 6, 7, 8. Проверим каждое из значений: 1) $a = 3$: $x = \frac{100 \cdot 3^2}{81} = \frac{900}{81} = \frac{100}{9} = 11.\overline{1}$. Округлим до ближайшего целого, получим 11. Проверим: $\sqrt{11} = 3.3166...$. Действительно, первые две цифры совпадают. 2) $a = 4$: $x = \frac{100 \cdot 4^2}{81} = \frac{1600}{81} = 19.753...$. Округлим до ближайшего целого, получим 20. Проверим: $\sqrt{20} = 4.472...$. Первая цифра совпадает. 3) $a = 5$: $x = \frac{100 \cdot 5^2}{81} = \frac{2500}{81} = 30.864...$. Округлим до ближайшего целого, получим 31. Проверим: $\sqrt{31} = 5.5677...$. Первая цифра совпадает. 4) $a = 6$: $x = \frac{100 \cdot 6^2}{81} = \frac{3600}{81} = 44.444...$. Округлим до ближайшего целого, получим 44. Проверим: $\sqrt{44} = 6.633...$. Первая цифра совпадает. 5) $a = 7$: $x = \frac{100 \cdot 7^2}{81} = \frac{4900}{81} = 60.493...$. Округлим до ближайшего целого, получим 60. Проверим: $\sqrt{60} = 7.7459...$. Первая цифра совпадает. 6) $a = 8$: $x = \frac{100 \cdot 8^2}{81} = \frac{6400}{81} = 79.012...$. Округлим до ближайшего целого, получим 79. Проверим: $\sqrt{79} = 8.888...$. Первая цифра совпадает. Теперь попробуем подобрать точное решение. $ \sqrt{x} = a.aaa... = a + 0.aaa... = a + \frac{a}{9} = \frac{10a}{9}$ $\x = \frac{100 a^2}{81}$ Если $\sqrt{x} = 8.888… = 8 + \frac{8}{9} = \frac{80}{9}$ $x = (\frac{80}{9})^2 = \frac{6400}{81} = 79.0123…$ Округляем до 79 и убеждаемся, что $\sqrt{79} = 8.888…$ Ответ: 79 Разъяснение для ученика: Мы искали двузначное число, квадратный корень которого состоит из одинаковых цифр, повторяющихся бесконечно. Сначала мы нашли формулу для представления такого корня в виде дроби. Потом мы возвели эту дробь в квадрат и получили выражение для самого числа. Так как число должно быть двузначным, мы определили возможные значения для цифры 'а'. После этого мы подобрали такое значение цифры, чтобы после возведения в квадрат и округления до целого получить двузначное число, квадратный корень которого действительно начинается с этой цифры.