Решите задачу на нахождение косинуса угла A, если известен синус угла A в прямоугольном треугольнике ABC.

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы решим задачу на нахождение косинуса угла в прямоугольном треугольнике, зная его синус. **Условие:** Синус острого угла \( A \) треугольника \( ABC \) равен \( \frac{\sqrt{7}}{4} \). Найдите \( \cos A \). **Решение:** 1. **Вспомним основное тригонометрическое тождество:** Для любого угла \( A \) выполняется следующее равенство: \[\sin^2 A + \cos^2 A = 1\] 2. **Выразим \( \cos^2 A \) через \( \sin^2 A \):** Из основного тригонометрического тождества следует, что: \[\cos^2 A = 1 - \sin^2 A\] 3. **Подставим известное значение \( \sin A \) в формулу:** По условию \( \sin A = \frac{\sqrt{7}}{4} \). Подставим это значение в формулу для \( \cos^2 A \): \[\cos^2 A = 1 - \left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2\] 4. **Вычислим \( \cos^2 A \):** \[\cos^2 A = 1 - \frac{7}{16} = \frac{16}{16} - \frac{7}{16} = \frac{9}{16}\] 5. **Найдем \( \cos A \):** Так как угол \( A \) острый, то \( \cos A \) будет положительным. Следовательно, чтобы найти \( \cos A \), нужно извлечь квадратный корень из \( \cos^2 A \): \[\cos A = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}\] **Ответ:** \( \cos A = \frac{3}{4} \) **Развернутый ответ для школьника:** Мы использовали основное тригонометрическое тождество, чтобы найти косинус угла, зная его синус. Важно помнить, что для острых углов косинус всегда положительный, поэтому мы выбрали положительное значение квадратного корня. Таким образом, мы нашли, что косинус угла \( A \) равен \( \frac{3}{4} \).