Решите задачу: Дана геометрическая прогрессия \((b_n)\): \(\frac{1}{8}; \frac{1}{4}; ...\). Найдите: \(b_8\), знаменатель прогрессии \(q\), сумму \(S_8\).

Здравствуйте, ученик! Давайте решим эту задачу вместе. **1. Находим знаменатель прогрессии \(q\):** Чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии, нужно разделить любой член прогрессии (начиная со второго) на предыдущий член. \[ q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{8}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{1} = 2 \] Итак, знаменатель прогрессии равен 2. **2. Находим \(b_8\):** Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии: \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \] В нашем случае: \[ b_8 = b_1 \cdot q^{8-1} = \frac{1}{8} \cdot 2^7 = \frac{1}{8} \cdot 128 = 16 \] Таким образом, \(b_8 = 16\). **3. Находим сумму \(S_8\):** Формула для суммы n первых членов геометрической прогрессии: \[ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \] В нашем случае: \[ S_8 = \frac{\frac{1}{8}(2^8 - 1)}{2 - 1} = \frac{\frac{1}{8}(256 - 1)}{1} = \frac{1}{8} \cdot 255 = \frac{255}{8} = 31.875 \] Итак, сумма \(S_8 = 31.875\). **Ответы:** * Знаменатель прогрессии \(q = 2\). * \(b_8 = 16\). * Сумма \(S_8 = 31.875\).