Решите задачу 17: Вова загадал двузначное число, умножил его на первую цифру этого числа, а затем полученное произведение умножил на вторую цифру загаданного числа. В результате он получил 408. Какое число загадал Вова?

Пусть задуманное число равно \(10a + b\), где \(a\) и \(b\) – цифры этого числа. По условию задачи, имеем: \[a \cdot b \cdot (10a + b) = 408\] Разложим число 408 на простые множители: \(408 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 17 = 2^3 \cdot 3 \cdot 17\). Так как \(a\) и \(b\) – цифры, то они должны быть меньше 10. Значит, \(a\) и \(b\) – делители числа 408, меньшие 10. Возможные варианты для \(a\) и \(b\) – это 1, 2, 3, 4, 6, 8. Теперь нужно подобрать такие значения \(a\) и \(b\), чтобы выполнялось уравнение \(a \cdot b \cdot (10a + b) = 408\). Перебором вариантов можно найти подходящие значения: * Если \(a = 2\) и \(b = 3\), то \(2 \cdot 3 \cdot (10 \cdot 2 + 3) = 6 \cdot 23 = 138\). Не подходит. * Если \(a = 3\) и \(b = 2\), то \(3 \cdot 2 \cdot (10 \cdot 3 + 2) = 6 \cdot 32 = 192\). Не подходит. * Если \(a = 1\) и \(b = x\), то \(1 \cdot x \cdot (10 \cdot 1 + x) = 408\). Не подходит, так как 17 является простым числом. * Попробуем \(a=17\), что невозможно, так как цифра не может быть больше 9. Попробуем другую стратегию. Раз \(a*b*(10a+b)=408=2^3*3*17\), то можно рассмотреть варианты: * 17 должно быть либо \(a\), либо \(b\), либо входить в \(10a+b\), если \(a\) и \(b\) однозначные числа. * Если \(a\) или \(b\) равно 17, то это невозможно. Значит, \(10a+b=17\) или \(10a+b=34\) и т.д. Но если \(10a+b=17\), то \(a=1, b=7\). Тогда \(1*7*17=119\), что не подходит. Если \(10a+b=34\), то \(a=3, b=4\). Тогда \(3*4*34=408\), что подходит. Итак, \(a = 3\) и \(b = 4\), то есть задуманное число \(34\). **Ответ: 34**