Решите задачу №15: Расстояние между пунктами А и В по реке равно 45 км. Из пункта А в пункт В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в пункт А. К моменту возвращения лодки в пункт А плот проплыл 32 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Пусть (v) км/ч – скорость лодки в неподвижной воде. Скорость течения реки равна 4 км/ч. 1. Плот плыл из пункта А в момент, когда лодка вернулась в пункт А. Время движения плота равно времени движения лодки плюс 1 час (потому что лодка вышла на час позже). 2. Время, которое плот был в пути, можно найти, разделив расстояние, которое он проплыл, на скорость течения реки: (t_{плота} = \frac{32}{4} = 8) часов. 3. Лодка плыла на 1 час меньше, чем плот, то есть (t_{лодки} = 8 - 1 = 7) часов. 4. Пусть (t_1) – время, которое лодка плыла по течению реки из пункта А в пункт В, а (t_2) – время, которое лодка плыла против течения реки из пункта В в пункт А. Тогда (t_1 + t_2 = 7). 5. Когда лодка плыла по течению реки, её скорость равна (v + 4) км/ч. Когда лодка плыла против течения реки, её скорость равна (v - 4) км/ч. 6. Расстояние между пунктами А и В равно 45 км. Тогда (t_1 = \frac{45}{v + 4}) и (t_2 = \frac{45}{v - 4}). 7. Подставим значения (t_1) и (t_2) в уравнение (t_1 + t_2 = 7): \[\frac{45}{v + 4} + \frac{45}{v - 4} = 7\] Решим это уравнение: \[\frac{45(v - 4) + 45(v + 4)}{(v + 4)(v - 4)} = 7\] \[\frac{45v - 180 + 45v + 180}{v^2 - 16} = 7\] \[\frac{90v}{v^2 - 16} = 7\] \[90v = 7(v^2 - 16)\] \[90v = 7v^2 - 112\] \[7v^2 - 90v - 112 = 0\] Решим квадратное уравнение: (D = (-90)^2 - 4 cdot 7 cdot (-112) = 8100 + 3136 = 11236) (\sqrt{D} = \sqrt{11236} = 106) (v_1 = \frac{90 + 106}{2 cdot 7} = \frac{196}{14} = 14) (v_2 = \frac{90 - 106}{2 cdot 7} = \frac{-16}{14} = -\frac{8}{7}) (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной) Таким образом, скорость лодки в неподвижной воде равна 14 км/ч. Ответ: 14 км/ч