Решите уравнение \(\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sin 39^\circ}{2 \sin 43^\circ - \cos 39^\circ}\) и найдите среднее арифметическое всех решений в интервале \((0^\circ, 2025^\circ)\).

Для решения этого уравнения, выполним следующие шаги: 1. **Упростим правую часть уравнения.** Заметим, что \(2 \sin 43^\circ - \cos 39^\circ = 2 \cos 47^\circ - \cos 39^\circ\). Преобразуем эту разность, используя формулу преобразования разности косинусов в произведение: \(\cos a - \cos b = -2 \sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2}\) \(2 \cos 47^\circ - \cos 39^\circ = \cos 47^\circ + (\cos 47^\circ - \cos 39^\circ) = \cos 47^\circ - 2 \sin \frac{47+39}{2} \sin \frac{47-39}{2} = \cos 47^\circ - 2 \sin 43^\circ \sin 4^\circ\) Это преобразование не приводит к упрощению, поэтому пойдем другим путем. Заметим, что \(2 \sin 43^\circ = \sin 43^\circ + \sin 43^\circ = \sin 43^\circ + \cos 47^\circ\). Тогда \(2 \sin 43^\circ - \cos 39^\circ = \sin 43^\circ + \cos 47^\circ - \cos 39^\circ\). Это также не приводит к упрощению. Попробуем использовать \(\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b\) и \(\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\). \(2 \sin 43^\circ - \cos 39^\circ = \frac{2 \sin 43^\circ \sin 39^\circ - \cos 39^\circ \sin 39^\circ}{\sin 39^\circ} = \frac{\cos(43-39) - \cos(43+39) - \cos 39 \sin 39}{\sin 39^\circ} = \frac{\cos 4 - \cos 82 - \cos 39 \sin 39}{\sin 39^\circ}\). 2. **Преобразуем уравнение к виду тангенса.** Уравнение можно записать как: \(\tan x = \frac{\sin 39^\circ}{2 \sin 43^\circ - \cos 39^\circ}\) Найдем значение правой части уравнения на калькуляторе: \(\frac{\sin 39^\circ}{2 \sin 43^\circ - \cos 39^\circ} \approx \frac{0.6293}{2 \cdot 0.6820 - 0.7771} \approx \frac{0.6293}{1.3640 - 0.7771} \approx \frac{0.6293}{0.5869} \approx 1.0723\) Таким образом, \(\tan x \approx 1.0723\) 3. **Найдем решение уравнения.** \(x = \arctan(1.0723)\) \(x \approx 47^\circ\) Общее решение уравнения: \(x = 47^\circ + 180^\circ k\), где \(k\) - целое число. 4. **Найдем все решения в интервале \((0^\circ, 2025^\circ)\).** Нужно найти все значения \(k\), для которых \(0 < 47 + 180k < 2025\). \(-47 < 180k < 1978\) \(-\frac{47}{180} < k < \frac{1978}{180}\) \(-0.26 < k < 10.99\) Значит, \(k\) принимает значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Тогда решения уравнения: - \(x_0 = 47^\circ\) - \(x_1 = 47^\circ + 180^\circ = 227^\circ\) - \(x_2 = 47^\circ + 360^\circ = 407^\circ\) - \(x_3 = 47^\circ + 540^\circ = 587^\circ\) - \(x_4 = 47^\circ + 720^\circ = 767^\circ\) - \(x_5 = 47^\circ + 900^\circ = 947^\circ\) - \(x_6 = 47^\circ + 1080^\circ = 1127^\circ\) - \(x_7 = 47^\circ + 1260^\circ = 1307^\circ\) - \(x_8 = 47^\circ + 1440^\circ = 1487^\circ\) - \(x_9 = 47^\circ + 1620^\circ = 1667^\circ\) - \(x_{10} = 47^\circ + 1800^\circ = 1847^\circ\) 5. **Найдем среднее арифметическое этих решений.** Сумма решений: \(47 + 227 + 407 + 587 + 767 + 947 + 1127 + 1307 + 1487 + 1667 + 1847 = 10410\) Количество решений: 11 Среднее арифметическое: \(\frac{10410}{11} \approx 946.36^\circ\) Округлим до целого числа: 946 **Ответ: 946**