1) Решите уравнение \(2\cos^2x - 3\sqrt{2}\cos x + 2 = 0\). 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-8; -4]\).

Решение: 1) Решим уравнение \(2\cos^2x - 3\sqrt{2}\cos x + 2 = 0\). Сделаем замену: \(t = \cos x\). Тогда уравнение примет вид: \(2t^2 - 3\sqrt{2}t + 2 = 0\). Найдем дискриминант: \(D = (-3\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 18 - 16 = 2\). Найдем корни уравнения: \(t_1 = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}\). \(t_2 = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Вернемся к замене: 1) \(\cos x = \sqrt{2}\). Так как \(\sqrt{2} > 1\), то это уравнение не имеет решений, поскольку \(-1 \le \cos x \le 1\) для любого \(x\). 2) \(\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Решениями этого уравнения являются: \(x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\). 2) Теперь найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку \([-8; -4]\). Поскольку \(\pi \approx 3.14\), то \(\frac{\pi}{4} \approx 0.785\). Рассмотрим серию решений \(x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n\): При \(n = -1\): \(x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = \frac{\pi - 8\pi}{4} = -\frac{7\pi}{4} \approx -5.497\). Этот корень принадлежит отрезку \([-8; -4]\). При \(n = -2\): \(x = \frac{\pi}{4} - 4\pi = \frac{\pi - 16\pi}{4} = -\frac{15\pi}{4} \approx -11.78\). Этот корень не принадлежит отрезку \([-8; -4]\). Рассмотрим серию решений \(x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n\): При \(n = -1\): \(x = -\frac{\pi}{4} - 2\pi = \frac{-\pi - 8\pi}{4} = -\frac{9\pi}{4} \approx -7.068\). Этот корень принадлежит отрезку \([-8; -4]\). При \(n = -2\): \(x = -\frac{\pi}{4} - 4\pi = \frac{-\pi - 16\pi}{4} = -\frac{17\pi}{4} \approx -13.35\). Этот корень не принадлежит отрезку \([-8; -4]\). Таким образом, корнями уравнения, принадлежащими отрезку \([-8; -4]\), являются \(-\frac{7\pi}{4}\) и \(-\frac{9\pi}{4}\). Ответ: 1) \(x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\). 2) \(x = -\frac{7\pi}{4}, x = -\frac{9\pi}{4}\).