Решите уравнение 2 sin² x + 3√2 sin x + 2 = 0. Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [8; 13].

Решение: 1) Решим уравнение: $$2 \sin^2 x + 3\sqrt{2} \sin x + 2 = 0$$ Введем замену: $t = \sin x$, тогда уравнение примет вид: $$2t^2 + 3\sqrt{2}t + 2 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = (3\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 18 - 16 = 2$$ $$t_1 = \frac{-3\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4} = \frac{-2\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$t_2 = \frac{-3\sqrt{2} - \sqrt{2}}{4} = \frac{-4\sqrt{2}}{4} = -\sqrt{2}$$ Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $t_2 = -\sqrt{2}$ не является решением. Следовательно, $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Решения этого уравнения: $$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ Или, что то же самое: $$x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ 2) Найдем корни, принадлежащие отрезку $[8; 13]$. Поскольку $\pi \approx 3.14$, то $[8; 13]$ примерно соответствует отрезку $[2.55\pi; 4.14\pi]$. Найдем корни вида $\frac{5\pi}{4} + 2\pi n$: $$8 \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \le 13$$ $$8 \le \pi (\frac{5}{4} + 2n) \le 13$$ $$\frac{8}{\pi} \le \frac{5}{4} + 2n \le \frac{13}{\pi}$$ $$\frac{8}{3.14} \le 1.25 + 2n \le \frac{13}{3.14}$$ $$2.55 \le 1.25 + 2n \le 4.14$$ $$1.3 \le 2n \le 2.89$$ $$0.65 \le n \le 1.445$$ $n=1$, тогда $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi = \frac{13\pi}{4} \approx 10.21$ Найдем корни вида $\frac{7\pi}{4} + 2\pi n$: $$8 \le \frac{7\pi}{4} + 2\pi n \le 13$$ $$8 \le \pi (\frac{7}{4} + 2n) \le 13$$ $$\frac{8}{\pi} \le \frac{7}{4} + 2n \le \frac{13}{\pi}$$ $$\frac{8}{3.14} \le 1.75 + 2n \le \frac{13}{3.14}$$ $$2.55 \le 1.75 + 2n \le 4.14$$ $$0.8 \le 2n \le 2.39$$ $$0.4 \le n \le 1.195$$ $n=1$, тогда $x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi = \frac{15\pi}{4} \approx 11.78$ Ответ: 1) $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$ 2) $\frac{13\pi}{4}, \frac{15\pi}{4}$ Ответ: $\frac{13\pi}{4}, \frac{15\pi}{4}$