Решите следующие тригонометрические уравнения:

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы с вами разберем решение тригонометрических уравнений, представленных на изображении. Будем решать каждое уравнение по шагам, чтобы вам было все понятно. **Часть I** 1. $\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ * Первый шаг: Находим общее решение. Так как $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $2x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ или $2x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. * Второй шаг: Упрощаем полученные выражения: $2x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ или $2x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$. * Третий шаг: Делим обе части каждого уравнения на 2: $x = \frac{\pi}{8} + \pi k$ или $x = \frac{3\pi}{8} + \pi k$. * Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \pi k$, $x = \frac{3\pi}{8} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. 2. $2 \cos x + \sqrt{2} = 0$ * Первый шаг: Выражаем $\cos x$. Получаем: $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. * Второй шаг: Находим общее решение. Так как $\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. * Ответ: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. 3. $\tan (-4x) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ * Первый шаг: Учитываем, что $\tan(-x) = -\tan(x)$, тогда $-\tan(4x) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. * Второй шаг: Умножаем обе части на -1: $\tan(4x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. * Третий шаг: Находим общее решение. Так как $\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, то $4x = \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. * Четвертый шаг: Делим обе части на 4: $x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}$. * Ответ: $x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$. 4. $\cotg \frac{x}{2} = 1$ * Первый шаг: Находим общее решение. Так как $\cotg(\frac{\pi}{4}) = 1$, то $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. * Второй шаг: Умножаем обе части на 2: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. * Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. 5. $2 \sin (3x - \frac{\pi}{4}) = -\sqrt{2}$ * Первый шаг: Делим обе части на 2: $\sin (3x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. * Второй шаг: Находим общее решение. Так как $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то $3x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ или $3x - \frac{\pi}{4} = \pi - (-\frac{\pi}{4}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. * Третий шаг: Упрощаем уравнения: $3x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ или $3x - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$. * Четвертый шаг: Решаем каждое уравнение по отдельности: * $3x = 2\pi k$, откуда $x = \frac{2\pi k}{3}$. * $3x = \frac{6\pi}{4} + 2\pi k$, откуда $x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}$. * Ответ: $x = \frac{2\pi k}{3}$, $x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$. **Часть II** 1. $\sin \frac{x}{4} = -\frac{1}{2}$ * Первый шаг: Находим общее решение. Так как $\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$, то $\frac{x}{4} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $\frac{x}{4} = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. * Второй шаг: Упрощаем полученные выражения: $\frac{x}{4} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $\frac{x}{4} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$. * Третий шаг: Умножаем обе части каждого уравнения на 4: $x = -\frac{2\pi}{3} + 8\pi k$ или $x = \frac{14\pi}{3} + 8\pi k$. * Ответ: $x = -\frac{2\pi}{3} + 8\pi k$, $x = \frac{14\pi}{3} + 8\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. 2. $2 \cos x + \sqrt{3} = 0$ * Первый шаг: Выражаем $\cos x$. Получаем: $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. * Второй шаг: Находим общее решение. Так как $\cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, то $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. * Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. 3. $\tan(x - \frac{\pi}{4}) = -\sqrt{3}$ * Первый шаг: Находим общее решение. Так как $\tan(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$, то $x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. * Второй шаг: Выражаем $x$: $x = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + \pi k$. * Третий шаг: Упрощаем: $x = -\frac{4\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + \pi k = -\frac{\pi}{12} + \pi k$. * Ответ: $x = -\frac{\pi}{12} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. 4. $\cotg 3x - 1 = 0$ * Первый шаг: Выражаем $\cotg 3x$. Получаем: $\cotg 3x = 1$. * Второй шаг: Находим общее решение. Так как $\cotg(\frac{\pi}{4}) = 1$, то $3x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. * Третий шаг: Делим обе части на 3: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}$. * Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$. 5. $\cos (\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2}) + 1 = 0$ * Первый шаг: Выражаем $\cos (\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2})$. Получаем: $\cos (\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2}) = -1$. * Второй шаг: Находим общее решение. Так как $\cos(\pi) = -1$, то $\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2} = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. * Третий шаг: Выражаем $\frac{x}{2}$: $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} - \pi - 2\pi k = -\frac{5\pi}{6} - 2\pi k$. * Четвертый шаг: Умножаем обе части на 2: $x = -\frac{5\pi}{3} - 4\pi k$. * Ответ: $x = -\frac{5\pi}{3} - 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.