Решите систему уравнений: \[\begin{cases} (3x + 5)^2 = 7y, \\ (15 + 2x)^2 = 7y. \end{cases}\]

Привет, ученики! Давайте решим эту систему уравнений вместе. Шаг 1: Приравняем правые части уравнений. Так как обе части уравнений равны $7y$, мы можем приравнять их друг к другу: \[(3x + 5)^2 = (15 + 2x)^2\] Шаг 2: Раскроем квадраты. Раскроем скобки, используя формулу $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: \[9x^2 + 30x + 25 = 4x^2 + 60x + 225\] Шаг 3: Перенесем все в одну сторону и упростим. Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: \[9x^2 - 4x^2 + 30x - 60x + 25 - 225 = 0\] \[5x^2 - 30x - 200 = 0\] Шаг 4: Разделим уравнение на 5 для упрощения. Разделим обе части уравнения на 5: \[x^2 - 6x - 40 = 0\] Шаг 5: Решим квадратное уравнение. Решим квадратное уравнение $x^2 - 6x - 40 = 0$. Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] В нашем случае $a = 1$, $b = -6$, и $c = -40$. Подставим эти значения в формулу: \[x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(-40)}}{2(1)}\] \[x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 160}}{2}\] \[x = \frac{6 \pm \sqrt{196}}{2}\] \[x = \frac{6 \pm 14}{2}\] Итак, у нас два возможных значения для $x$: \[x_1 = \frac{6 + 14}{2} = \frac{20}{2} = 10\] \[x_2 = \frac{6 - 14}{2} = \frac{-8}{2} = -4\] Шаг 6: Найдем соответствующие значения $y$. Теперь найдем значения $y$, подставив найденные значения $x$ в одно из исходных уравнений, например, в первое уравнение $(3x + 5)^2 = 7y$. Для $x_1 = 10$: \[(3(10) + 5)^2 = 7y\] \[(30 + 5)^2 = 7y\] \[(35)^2 = 7y\] \[1225 = 7y\] \[y_1 = \frac{1225}{7} = 175\] Для $x_2 = -4$: \[(3(-4) + 5)^2 = 7y\] \[(-12 + 5)^2 = 7y\] \[(-7)^2 = 7y\] \[49 = 7y\] \[y_2 = \frac{49}{7} = 7\] Шаг 7: Запишем решение системы уравнений. Итак, решение системы уравнений: \[(x_1, y_1) = (10, 175)\] \[(x_2, y_2) = (-4, 7)\] Ответ: Система уравнений имеет два решения: (10, 175) и (-4, 7).