Решите неравенство $x^2(-x^2-64) \le 64(-x^2-64)$.

Рассмотрим неравенство: $x^2(-x^2-64) \le 64(-x^2-64)$. 1. Перенесем все члены неравенства в левую часть: $x^2(-x^2-64) - 64(-x^2-64) \le 0$ 2. Вынесем общий множитель $(-x^2-64)$ за скобки: $(-x^2-64)(x^2 - 64) \le 0$ 3. Умножим обе части неравенства на $-1$, чтобы изменить знак первого множителя и знак неравенства: $(x^2+64)(x^2 - 64) \ge 0$ 4. Заметим, что $x^2+64$ всегда положительно, так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, следовательно, $x^2+64 \ge 64 > 0$. 5. Значит, знак произведения зависит только от второго множителя: $x^2 - 64 \ge 0$ 6. Разложим на множители разность квадратов: $(x-8)(x+8) \ge 0$ 7. Найдем нули выражения: $x-8=0$ или $x+8=0$, следовательно, $x=8$ или $x=-8$. 8. Решим неравенство методом интервалов. Отметим точки $-8$ и $8$ на числовой прямой. Рассмотрим три интервала: $(-\infty, -8]$, $[-8, 8]$ и $[8, +\infty)$. 9. Проверим знак на каждом интервале: - Если $x < -8$, например $x = -9$, то $(x-8)(x+8) = (-9-8)(-9+8) = (-17)(-1) = 17 > 0$. - Если $-8 < x < 8$, например $x = 0$, то $(x-8)(x+8) = (0-8)(0+8) = (-8)(8) = -64 < 0$. - Если $x > 8$, например $x = 9$, то $(x-8)(x+8) = (9-8)(9+8) = (1)(17) = 17 > 0$. 10. Выберем интервалы, где выражение $(x-8)(x+8)$ больше или равно нулю. Это интервалы $(-\infty, -8]$ и $[8, +\infty)$. 11. Запишем ответ в виде объединения интервалов: $x \in (-\infty, -8] \cup [8, +\infty)$. Ответ: $x \in (-\infty, -8] \cup [8, +\infty)$.