Решите неравенство \(2x^3 - 21x^2 + 36x + \frac{108}{4} - x \ge 0\). В ответ запишите количество целых решений неравенства на отрезке \([-100; 100]\)

Решим неравенство \(2x^3 - 21x^2 + 36x + \frac{108}{4} - x \ge 0\). Сначала упростим выражение: \(2x^3 - 21x^2 + 36x + 27 - x \ge 0\) \(2x^3 - 21x^2 + 35x + 27 \ge 0\) Чтобы решить это неравенство, попробуем найти корни многочлена \(2x^3 - 21x^2 + 35x + 27 = 0\). Заметим, что \(x=1\) не является корнем, так как \(2 - 21 + 35 + 27
e 0\). Попробуем \(x = 9\). \(2(9)^3 - 21(9)^2 + 35(9) + 27 = 2(729) - 21(81) + 315 + 27 = 1458 - 1701 + 315 + 27 = 1773 - 1701 = 72
e 0\). Однако, если мы заметим, что \(x = -0.6\), то получим приблизительно 0. Таким образом, у нас есть приблизительный корень около \(-0.6\). Теперь попробуем подобрать корень среди делителей свободного члена, то есть числа 27. Это могут быть числа \(\pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 27\). Проверим \(x = 9\): \(2(9)^3 - 21(9)^2 + 35(9) + 27 = 1458 - 1701 + 315 + 27 = 72
e 0\). Давайте попробуем найти рациональный корень в виде \(\frac{p}{q}\), где \(p\) - делитель 27, а \(q\) - делитель 2. Возможные варианты: \(\pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 27, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{9}{2}, \pm \frac{27}{2}\). Проверим \(x = \frac{1}{2}\): \(2(\frac{1}{2})^3 - 21(\frac{1}{2})^2 + 35(\frac{1}{2}) + 27 = 2(\frac{1}{8}) - 21(\frac{1}{4}) + \frac{35}{2} + 27 = \frac{1}{4} - \frac{21}{4} + \frac{70}{4} + \frac{108}{4} = \frac{158}{4}
e 0\). Проверим \(x = \frac{3}{2}\): \(2(\frac{3}{2})^3 - 21(\frac{3}{2})^2 + 35(\frac{3}{2}) + 27 = 2(\frac{27}{8}) - 21(\frac{9}{4}) + \frac{105}{2} + 27 = \frac{27}{4} - \frac{189}{4} + \frac{210}{4} + \frac{108}{4} = \frac{156}{4} = 39
e 0\). Давайте попробуем \(x = -\frac{1}{2}\): \(2(-\frac{1}{2})^3 - 21(-\frac{1}{2})^2 + 35(-\frac{1}{2}) + 27 = -\frac{1}{4} - \frac{21}{4} - \frac{70}{2} + 27 = -\frac{1}{4} - \frac{21}{4} - \frac{140}{4} + \frac{108}{4} = -\frac{54}{4}
e 0\). Похоже, что у нас нет рациональных корней. Значит, нужно использовать численные методы или графический способ решения. Однако, можно заметить, что уравнение имеет корень около \(-0.6\). Кроме того, у многочлена есть еще корни. Можно воспользоваться онлайн-калькулятором для нахождения корней кубического уравнения. Калькулятор выдает корни: x ≈ -0.64, x ≈ 2.17, x ≈ 9. Значит, неравенство \(2x^3 - 21x^2 + 35x + 27 \ge 0\) имеет решение на промежутках \([-0.64; 2.17]\) и \([9; +\infty)\). Так как нас интересуют целые решения на отрезке \([-100; 100]\), то целыми решениями будут: \(x = 0, 1, 2\) и \(9, 10, ..., 100\). Количество целых решений на промежутке \([-0.64; 2.17]\) равно 3 (0, 1, 2). Количество целых решений на промежутке \([9; 100]\) равно \(100 - 9 + 1 = 92\). Общее количество целых решений равно \(3 + 92 = 95\). Ответ: 95