Решите неравенство $\frac{2x^3 - 21x^2 + 36x + 108}{4-x} \ge 0$. Найдите количество целых решений неравенства на отрезке [?

Для решения неравенства $\frac{2x^3 - 21x^2 + 36x + 108}{4-x} \ge 0$, нам нужно сначала найти корни числителя и знаменателя. 1. Найдем корни числителя: $2x^3 - 21x^2 + 36x + 108 = 0$. Давайте попробуем найти рациональные корни этого многочлена. Делителями числа 108 являются: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±27, ±36, ±54, ±108. Подставляя x = -2, получаем: $2(-2)^3 - 21(-2)^2 + 36(-2) + 108 = 2(-8) - 21(4) - 72 + 108 = -16 - 84 - 72 + 108 = -16 - 84 - 72 + 108 = -64
e 0$. Подставляя x = 3, получаем: $2(3)^3 - 21(3)^2 + 36(3) + 108 = 2(27) - 21(9) + 108 + 108 = 54 - 189 + 108 + 108 = 270 - 189 - 54 = -27
e 0$. Подставляя x = 6, получаем: $2(6)^3 - 21(6)^2 + 36(6) + 108 = 2(216) - 21(36) + 216 + 108 = 432 - 756 + 216 + 108 = 756 - 756 = 0$. Значит, x = 6 является корнем. Разделим многочлен $2x^3 - 21x^2 + 36x + 108$ на $(x - 6)$ столбиком или с помощью схемы Горнера. Получаем: $2x^3 - 21x^2 + 36x + 108 = (x - 6)(2x^2 - 9x - 18)$. Теперь найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - 9x - 18 = 0$. $D = (-9)^2 - 4(2)(-18) = 81 + 144 = 225$. $x_1 = \frac{9 + \sqrt{225}}{4} = \frac{9 + 15}{4} = \frac{24}{4} = 6$. $x_2 = \frac{9 - \sqrt{225}}{4} = \frac{9 - 15}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1.5$. Таким образом, $2x^3 - 21x^2 + 36x + 108 = 2(x - 6)^2(x + 1.5)$. 2. Найдем корни знаменателя: $4 - x = 0$, откуда $x = 4$. 3. Решим неравенство: $\frac{2(x - 6)^2(x + 1.5)}{4 - x} \ge 0$. Заметим, что $(x - 6)^2 \ge 0$ всегда. Поэтому, если $x
e 6$, то можем разделить обе части неравенства на $(x - 6)^2$: $\frac{2(x + 1.5)}{4 - x} \ge 0$. Это выполняется, если $\frac{x + 1.5}{4 - x} \ge 0$. Метод интервалов: определяем знаки на интервалах $(-\infty; -1.5]$, $(-1.5; 4)$, $(4; +\infty)$. При $x < -1.5$, например, $x = -2$: $\frac{-2 + 1.5}{4 - (-2)} = \frac{-0.5}{6} < 0$. При $-1.5 < x < 4$, например, $x = 0$: $\frac{0 + 1.5}{4 - 0} = \frac{1.5}{4} > 0$. При $x > 4$, например, $x = 5$: $\frac{5 + 1.5}{4 - 5} = \frac{6.5}{-1} < 0$. Таким образом, $x \in [-1.5; 4)$. Но также нужно учесть, что $x = 6$ является решением исходного неравенства, так как числитель обращается в 0, а знаменатель не равен 0. Однако $x = 6$ не входит в интервал $[-1.5; 4)$. 4. Найдем целые решения: Из интервала $[-1.5; 4)$ получаем целые решения: -1, 0, 1, 2, 3. Также, $x=6$ тоже решение. Допустим, что отрезок, указанный в задании $[-2;3]$. Целые решения на этом отрезке: -1, 0, 1, 2, 3. Тогда количество целых решений на отрезке $[-2; 3]$ равно 5. Ответ: Если заданный отрезок $[-2;3]$, то количество целых решений равно 5.